Calculons par exemple l'intégrale
rfcp
sin'o
Nous poserons
sin'9 = -,
et nous aurons
logtang- = 9,6172243,
log/c, = log sin 9, = logtang'- =9,3.344486, 9, = 9°52'45",4i,
log lang — = 8,93665 06,
log/f 2 = log sin Ô, — log lang' — = 7 ,87330 1 2 ;
et l'angle 0^ est assez petit pour que nous puissions faire usage déjà formule (16 j,
nous aurons
log/r, = 7,87330 12
2 log/r, = 5 , 74660 24 cMog4 = 9,3979400
log/f, = log^ + —^
log/r^
les valeurs numériques de k, k,, ^2. ^s» sont
Pour calculer les limites successives des intégrales, on a
log tang(p = 9,76143 94
1 og ces 6 = 9 , 84948 5o
logtang(9, — 9) = 9,6109244
9, — tp = 22° 12' 27", 558
9, = 52" 12' 27", 558 loglang9, = o,i 1043 75 logcosô, = 9,99351 18
loglang(9,— 9,) = o,io39493
9, = io4" o' o",i45 log lang92 = o,6o322 76
Ioglang(93 — 9,) = o,6o32i 55 93 — 9, = io4" o' i",5o
'og = 4»9:'27 68 logi"= 4,68557 49
log ^ = 9,65685 17
Calculons enfin le multiplicateur
/cos6, cos9, COS03 V- CÔS0
on a
log ces 9 := 9,8494860,
logées 9, =9,99351 18, log CCS 6, = 9,99998 79,
et cos$3 peut être regardé comme égal à l'unité; donc
/cos 9,00562 .,
'"gy- cos9 -»'»7^°°73;
par conséquent
et
, 90. /cos9,cos9j" „„;.
I / , 8 V ces 9
. valeur exacte à sept décimales.
657. L'élégante construction par laquelle se trouve représentée la transformation de Landen est due à Jacohi. Gauss, dans l'un de ses Mémoires, a présenté sous une forme intéressante un résultat équivalent au fond à celui que nous venons d'obtenir.
Considérons la différentielle
rftp V^i — /f'sin=9 que l'on peut écrire
v'cos'o H- (i — A^) sin'9 à laquelle nous substituerons la forme évidemment équivalente
v/m'cos'9 -\-' n'sin'9 Posons
2 n sin ij'
(18) sin 9:
{m -f- «)cos'4' + ■2msin'4'
011 en déduit
ou
v'Wcos'9 ■+- /l^sin=9 y''w"sin'9 + «'"sin'o , m 4- Il
fies
l n'=^nin, et la formule donne le moyen de transformer la fonction elliptique dont le module
est
en une autre dont le module est
V ni, m '\- n
el la relation entre k et A-, est encore
■?■^Jk\
Lorsque o varie de o à ■.>.n, ^ varie aussi de o a y.n; on a, par conséquent,
et si l'on forme une série de nombres définis par les relations
/ r . , m + Il , , — „ m' 4- n' „ . , .
(20) w = 1 n=s/mn, m = > n==\Jmii:,.
ip = \/inp^, Hp^i,
on aura 26)
r^" do r'^
^o v'^^'ccs^o + «'sin'o Jo y'
do y/n^cos^'f -I- HJSsin'Çf
Lorsque p augmente, ni^, el n^, convergent vers l'égalité, et si l'on nomme [j. la limite commune, le dénominateur du second membre tend vers la valeur constante u., e{ la limite est par conséquent -~\ la limite fx se trouve ainsi connue, et l'on a
((<fl
