La différenliello

s/A -h B.* + Cx'+Hx' + E.r'

peut d'une infinité de manières so transformer par un cliangement d(! variables

en une autre de la forme

, . . dy

y/ A' + B'j -t- C'j'-t- D'r* 4- E'y" Posons, pour obtenir cette transformation,

U et V désignant des fonctions entières de j; on aura

dV, ,, dy

sjk + hx + Cx'-^Yix'+Ex'' v/AV<h-BUV'+CU'V'4-DU=V-hEU'

Le polynôme en y, qui dans le second membre de cette équation figure sous le radical, est d'un degré quadruple de celui de l'un des deux polynômes U et V, il faut, pour qu'il se réduise au quatrième degré, que tous les facteurs linéaires soient doubles et puissent sortir du radical, à l'exception de quatre seulement. On doit donc avoir

AV'+ BUV^+ CU'V^-h DUn^ + EU' = T-'(A' 4-B'7 -h C'/^+ Dy +- Ej*), T étant un polynôme rationnel en r. L'équation (3i) deviendra alors

dx dy dy dy

v'A -+- B^ + Ca:-'+ Dar'-(- Ex' ~ T fk'~+''R'y'-P^y^'+Wy^Wy'''

et la transformation annoncée sera évidemment effectuée, si la fraction

(33) dy:^dy

se réduit a une constante. Or nous allons montrer qu'il en est nécessairement ainsi

toutes les fois que les degrés des polynôines U et V sont égaux, ou diffèrent seulement d'une unité.

Soit en effet

(34) A + Bx -{-Cx'-hDx'-]-Ex' = E{x— a^)(x~^){x —y)(x — SK On en conclut

(35) AV«-f-BUV'+ CU'V'+ DU>V + EU'= E(U— aV) i [J - (3V)(U - yV)(U - âV).

Or on ne peut rencontrer dans ce produit d'autres facteurs doubles que ceux

qui figurent deux fois dans un même binôme U — <x\, U — /3V Il n'est pas

possible en effet que deux binômes différents, U — aV, U — |3V par exemple, aient un facteur commun du premier degré en y, car ce facteur appartiendrait à U

et à V, et en le supprimant dans les deux termes de la fraction ^i on aurait une

transformation équivalente et de forme plus simple. Cela posé, on a identiquement

dV dpr

5,U)^H u 4-(v-aU),

et par conséquent tout facteur double de V — aU divisant la dérivée -, (V — aU), divisera le premier membre de (3G). Les facteurs du polynôme désigné par T appartiennent donc tous à cette différence V -. U -r;' et par conséquent le numérateur de la fraction

est divisible par le dénominateur. Mais d'après la supposition faite sur les degrés de U et de V, le quotient est de degré zéro, c'est-à-dire indépendant de y. Si en effet U et V sont tous deux de degré p, ou l'un de degré p, l'autre de degré p — i , les deux termes de la fraction (Sy) sont l'un et l'autre de degré 2p — a; leur quotient est par conséquent une constante comme nous l'avions annoncé.

Ainsi donc pour transformer la différentielle (28) en une autre de même forme avec des coefficients différents, il suffit de cboisir pour U et V deux polynômes de même degré, ou dont les degrés diffèrent d'une unité seulement, et tels, que les facteurs de l'expression qui figure soiis le radical du second membre de (3i) soient égaux deux à deux, à l'exception de quatre qui doivent rester simples. Celle con-

(lition peut être remplie d'une intlnilé de manières, et à chaque valeur adoptée pour les degrés des polynômes U et V, correspondra une solution.