Considérons comme exemple la différentielle

et posons^ pour la transformer,

Il faut que le produit -

(4o)- {a + by'— x){a + l>f^+y){a + bf^- — hy)[n + bf^ + hr)

contienne deux facteurs doubles. Si de plus on veut avoir une transformée de la forme

il faut que le produit (4o) soit de la forme

T'(.-r-)(.-/r"j'), T désignant un polynôme du second degré en y. Si nous posons

ï = r( I 4- my){ I + «r ),

on devra avoir

/« + />/' — r = «(i—j)(i — /('r). ] n+by'-+-y=a{\+y){i-^h'y), i a + by''— /ty= n{] + nty)'-, a + by'^ + hy = «( i + ny ^.

Le changement dej en — y changeant l'un dans l'autre les premiers membres des deux dernières équations, on doit avoir m — ~ n\ les quatre équations (42) se réduisent alors à deux

f a + by''— /ir = rt(i + myy.

Onconclutde la première, en faisant r = r, et remarquant que le produit des

racines du premier membre est ?)

/ rt + è = I , (44) U__ ■ '

c'est-à-dire

d'après la seconde des équations (4^). le trinôme a -+- by- — ky doit être un carré parfait- On en conclut

(46) et

la racine

'- est égale à \/t' c'est-à-dire à \/ pi et l'on tro

dx^ (A'+ \)dy

v'(i — .r')(i— /r^.r^) V'(, jv)(, /,"j')

et comme 7 et a? s'annulent en même temps

uve

r' dx

Jo s/h — x')li-

^o Mil — :

\l(\ — x^){\ — k'x') Jo \j'{i—r'){i — /('y)

les modules k eXk' étant liés par l'équation (47) identique à celle obtenue (652).

Théorie d' ^bel.

660. Abel a rattaché très-ingénieusement la théorie de la transformation au principe de la double périodicité, en montrant qu'on en peut déduire, à priori, en quelque sorte, la connaissance des cas dans lesquels elle est possible, la forme des équations qui y conduisent et, en suivant jusqu'au bout les conséquences des principes, la formation complète des équations elles-mêmes.

Considérons l'équation

Au -+- A, .r -t- . . . H- k.^x'^ V

"Bo + B, jr -4^ . . . -h B,, a::^ Q

OÙ les polynômes P et Q sont supposés premiers entre eux, A^^ et B,;. n'étant pas tous deux égaux à zéro, nous dirons que la transformation exprimée par l'équation (49) «'st de degré jl;.. •

A chaque valeur de a-, d'après la relation (49). correspond une valeur de y, mais à chaque valeur dey correspondent p. valeurs de a; généralement inégales. Soient ^r,, et xj deux quelconques de ces racines, elles doivent toutes deux satisfaire à l'équation

dy'' z'dx''

' °^ • (i — j-^)(i — ?7pj ~ [i~x')[i — /('xM'

et l'on a par conséquent

sl{i — xf.){i — J?x!. ) ■ sj{ï — x'!:.){i — h'x^ Si donc on pose

et par conséquent

on aura aussi

Xc = sin «m u ( mod . h dXc

sl{i — xl]{\ —If'x?)

rh dxe' ^{i - xl.]{i - k^l^)

Xc' ;= sin om ( a ± h ),

du =

et par conséquent

a étant une constante.

On peut écrire simplement

Xc' = sin «/;? (ii -i- a ),

car si l'on prenait

Xci=: sin nm {a. — «j, on pourrait écrire

Xc'=^ sinrtw(2&) — a -)- m) =r sinrtm(« + a'),

a' étant une constante égale à 20) — a.

On voit donc qu'en exprimant L'une quelconque des valeurs de œ par la formule

X =^ sin ainu,

toutes les autres seront de la forme

s\n am{ Il + a),

l'argument M étant bien entendu une fonction de y, et a conservant pour chaque racine une valeur constante qui n'en dépend pas.

On aura par conséquent, quel que soit /,

^•=: \\i{s\namu):= i|/[sinam(» H- a)], et par conséquent

ii{sinrt»i») = <\i[s\nani{u H- «)].

Cette équation étant satisfaite quel que soit ii, on peut y changer u en m + a, en u -h 2Q(, — On aura donc

^(sinaniii) =. <]i s\nain[u -+- x) — <lfi[s\nain{ii -+- aa)] = . .= d/[sin«w(f« -j- px)],

et, par suite, quel que soit le nombre entier/;,

f]/{sïnamn)=: J;[sinrt/)i{« + px)].

Les racines de l'équation

étant en nombre fini, il faut nécessairement que pour une certaine valeur h du nombre /j, on ait

sinrtn((K + /(a) = sin «/?<«,

cette équation devant avoir lieu quel que soit u, hy. est une période (597)

et l'on a par conséquent

4in(,)-h 2.n(a' \/ — i

Si II est le plus petit nombre entier pour lequel cette condition soit remplie, un aura pour clia(|ue valeur de r, h valeurs distinctes de x

X, = si ne/m H,

Xj =: sin ain [u -h x),

xi, = sin am ( « -f- ( A — i /x .

Si le nombre h est égal à ;/, l'équation )== |(.t) n'a pas d'autres racines. Si au contraire h est moindre que a, on pourra prendre une racine .i-\ distincte des précédentes, et si l'on pose

x\ 1^ sin ri/» II' ,

on aura les nouvelles racines

*'j : : siuiini(n' + x], x. =: sin nm ( u' -h 'ix),

x'f^ = sinnni^u' +- [h — i)a'.

an DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

Ces A racines sont distinctes des précédentes, car si l'on avait

sinani(u' -\- q' a.)^^ ^\nam{u -+■ qac),

on en déduirait, en négligeant les multiples des périodes,

u' s'obtiendrait donc en ajoutant à u un multiple de a, et sinamz/ ferait partie du premier groupe.

Si ih est égal à /j., on a trouvé toutes les racines; sinon on formera un troisième groupe de h racines, puis un quatrième, etc., et l'on "voit que h doit être un diviseur de [j..

661. Nous ferons connaître suffisamment l'esprit de la méthode, en nous bornant à examiner le cas où l'on a h — fx, en supposant en outre que p. soit un nombre impair 2n + i.

L'équation

a dans ce cas pour racines

x,=zs\namii, .Tj = sina/H^« + aj, . . , x^ = sina/7i[?< -i- ( u — i)»], où

Cette équation peut s'écrire (5o) (A^ — %x)x^-\- . .+ A.- B„j=o.

Le produit des racines est

A, — -Bq y

AD ,, — Xi XiXi- . . X^.

On en déduit pour v une expression de la forme ^„ ^ n'+ ax.Xi. . .X.,