I. Ctilr. in
67i ■ DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
doit être divisible par (i — x-)(i — k-x") et donner pour quotient un c;>rré parfait. Cette condition est d'ailleurs suffisante : on peut le prouver en reproduisant la démonstration de Jacob» donnée (658); nous avons donc seulement à déterminer a, h, a! , h' de telle sorte qu'elle soit satisfaite. L'équation
ayant pour racines
on doit avoir
■Çly^k{x — Xy){x — Xi
 étant indépendant de x et égal au coefficient a — by de la plus haute puissance de cette variable dans le premier membre. Mais on a
(F-Q')(X^F Q») = (P-Q)(P + Q)(^p Q)(XP + 0).
Ce produit doit être divisible par (i — a7^)(i — /rx-), et s'annuler par conséquent
pour X ■:= dz 1, jc = ± .- ■ Si nous remplissons cette condition en faisant en sorte
que P — Q, P + Q, XP — Q et XP + Q soient divisibles respectivement par i — x, i -h X, I — kx, j-hkx, c'est-à-dire en faisant en sorte qu'aux hypothèses
y = i,j = — i,j = ^jj= — T-7 dans l'équation (54), correspondent pour a;,
les valeurs i, — i, t, — t' ces conditions déteruMneront a, b, a',b' . L'équation (Ss) donne en effet, en remarquant que f{x) est une fonction impaire,
rt' H- « (2 ( I )
— «cp(i)
-6cp(.)*
h' -^-bo
On en déduit aisément
CVS
a'b' — ah oM . j =:o.
D'ailleurs ip'(i) et 9*(t) sont inégaux, sans quoi les équations (.55) donneraient ). = ± r , ce qui est inadmissible. Il faut donb supposer (56) ab = o, a'b'=^o.
Prenons par exemple
les équations (55) se réduisent à
(57) D'ailleurs
(i-en{i-el)...(i-e^,)
k'"-^'o{\) et (57 ) donne
a, b, a', b' et X sont donc connus. Pour avoir £, il suffit de remarquer que d'après les formules précédentes r est nul en même temps que x, et la dérivée ^-^5 égale
à ■^ pour a; = 0, se réduit d'après l'équation (53) à s. On trouve ainsi en faisant usage de la valeur (52) dey, simplifiée par les résultats précédents,
Le problème est résolu. Mais il reste à prouver que la solution obtenue, dans laquelle tout est maintenant déterminé, satisfait à celles des conditions qui n'ont pas été exprimées, et que le quotient
qui d'après les valeurs choisies pour a, b, a' , b' est entier, se réduit à un carré parfait.
£= — ^- e'Cj . . . e';,.
Reprenons en effet l'équation (54)
Si l'on V fait successivement a?, = ± r , ar, = ± .-i et, par suite, d'après les valeurs adoptées pour «, a! , h,h\y =. ± r , y = =!= ^, nous aurons
P-Q = (rt — />){^- i)F,(^),
et par conséquent
F, [x], Fj(£r), F3 [x), F, [x) désignant le produit
correspondant respectivement aux quatre valeurs adoptées pour a;,.
Or les quatre fonctions sont des carrés parfaits, et il en est par conséquent de même de leur produit. On a en effet
Xs =: Sill«W«,
et les quatre valeurs de rb i , ±j attribuées h x donnent
zoi>um u \am u = o, et par suite
*•, A am p OL cosain p a.
les facteurs
(X — Xp^x], [X X.f^p+i)
sont par conséquent égaux, et le produit
\x — Xi)[X — Xi). . .i^X — x^),
composé de facteurs égaux deux à i\Q\\y., est un carré parfait.
En résumé, pour résoudre le problème do la transformation, on peut procéder de la manière suivante :
Soit a une racine de l'équation
sin flw ( •î « -I- I ) a = o.
Cette racine n'appartenant à aucune autre équation de la forme
sinrtw//a = o,
dans laquelle A soit un entier inférieur Ain-\- \, si l'on détermine une fonction j, un module X, un coefficient s, par les formules
l,'"^' x(x'— sin'awa) (a;'— sin'rtwaa). . .{x''— sin'am n<z)
Jï (i — li'x'shï'amx)(i — li'x^'sin'am-îx). . (i — h^ x' s\n^ am n x)
(60) on aura
(i — sin'ania)[i — sinflmaa). . .(i — sin'ammx) (i — lt^sin'amx){i — L^sln'amix]. • .(1 — li'sin'aninx]
s= —jr- s\n''amxsia^am2ix. . . sin'amnx, •
(ix
dx
v/(i— jr')(i — X'j^) \J[\ — x-'){i — k'x-')
