Considérons par exemple le cas de

Si l'on pose

sinrtwo! =r e, 'équation

Sinrtwoa = o

donne '^615)

e[3 — 4e'(r + /.■') + 6/.-'e'— /r'ft'j = o.

La racine e == o doit être rejetée, mais les autres peuvent être adoptées, parce que sinamaa n'est pas nul.

On aura

664. La formule de transformation peut être mise sous une forme plus élégante, Considérons la somme

/=:: sinamw -h a'in am {u -h x) -h iiin(iin{u + 22:) + . . .+ si n a/H [m + (« — i)^]>

OÙ na. désigne une période quelconque de s'mamu, cl n est un nombre impair quelcouquc.

On a (595)

sinani{u + a) + smam\u -h {n — i)a]

, ... , 2. sin am u cos amu A amu

= sin ami u + a)+ sm ami u — a) = -, — -. -. ,

I — k' s\n^ a m u sm' a m oc

sinam{ m -f- aa) -t- sinain[ii -+- {n — a) a]

2Sinarnu cos ami X A am 2 a

= sin am { u -h i x) + sin am (u — a a ) =; , — -. ; j

' 1 — /(^sm'amu si(i''am2x

. n — I . H — I . , , 2SinaOTMC0S«OT xAam x

n — i \ . I n + 1 \ 2 2 sin am u H a 4- sin «m u -\ x = ,

I — /i- Sin «m « Sin* «m x

et l'on voit que j est une fonction rationnelle de s'inamu, dont le dénominateur est évidemment

(i — k''shVamusin^amx){i — k' sin' amu sin'' am 2 x). . . ( i — k' sin' am u sin' am a ]•

Le numérateur est de degré «. Or l'équation j=: o, quand on y considère u comme inconnue, a pour racines, on le vérifie aisément,

car en faisant u =^p(/., quel que soit le nombre/?, les termes dey deviennent précisément ceux de la somme

sin am x -+- sin am 2 a -f . . . -i- siii am u x.

Or on a, «a étant une période,

sinaw! 7ia = o,

sinamx -+- sinam (n — 1 ) a = o,

sin am 2 X + sin am{n — 2 ) a = o,

n — I \ . n + J sinam I x 4- sinam x ] =0,

et la somme se réduit à zéro.

LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. D'après cela, en posant sxnamu = a:, on a

fiTO

Cr 1 I —

sm^ainx

sin-amy.x

siti^ain a

(i — k'x'sin'am(x){i — /l'a^^sin'amaa). . . j i — A'ar'sin'a/n ( J a

qui ne diffère de la relation (58) que par un facteur constant et par la valeur attribuée à n.

Nombre de transformations de degré premier [in -\- i).

665. En désignant par 2n-f- r un nombre premier impair, il faut, pour appliquer la méthode de transformation, choisir une racine de l'équation

sin «m ( 2 « -+- I ) s: = o.

Cette équation est de degré (2/14- i)-, mais elle admet la solution sina/wa =0 qu'il faut rejeter. 11 reste donc ^^

racines. Mais à toutes ces racines ne correspondent pas de transformations différentes. Remarquons en effet que, pour chaque valeur de a. l'expression des racines est donnée par les formules

.*•, = sinawM,

Xi =: sinrtm(« -f- a).

Xn+i = s\nam{u -+- 9.na).

Si donc on y remplace ^y. par qy., q étant inférieur à on -t- i. les racines ne font que se permuter, et l'on obtient la même transformation.

Il fiiut donc diviser par 2n le nombre total des racines, ce qui donne en tout

y. n -h 1 ^ ij. -h J

'transformations distinctes. Et comme on peut à chacune, sans changer son degré, appliquer les six transformations du premier degré, le nombre de transformations d'ordre ij., p. étant premier, est Ga -t- 6,

Influence de la transformation sur le rapport des périodes.