Si nous posons

x=^s{namu (mod. /r), j^sin«mc (mod. >i),

la formule générale de transformation équivaut à

et la relation obtenue entre j et x est telle (660) que, u augmentant de a, y reste invariable; sina/n^ admet donc pour période ea, et il admet en outre, cela est évident, le produit par s de toute période de sinawM; il est clair en effet que, u augmentant d'une période, x conserve la même valeur, et il en est par conséquent de même de j.

Toutes les périodes d'un sinus d'amplitude étant réductibles à deux (597), nous voyons qu'après la transformation l'une d'elles est multipliée par s; mais l'autre sa

est multipliée par > puisque a est la an + i'""^ partie d'une période; on peut

donc dire que le rapport de deux ])ériodes a été divisé par 2« + i .

667. Le résultat précédent peut être généralisé. Quelle que soit la relation algébrique qui lie deux sinus d'amplitude correspondant à deux modules différents, le rapport des périodes relatives aux deux modules est commensurable.

Soient en effet sina/nM(mod. k) et ûnam[Tnu + a) (mod. k') les deux sinus d'amplitude entre lesquels existe une relation algébrique. Lorsqu'on donne ûnamu, u peut avoir l'une quelconque des valeurs comprises dans les formules

u ■+ ù,pr,) -^ iqrW \J—l ,

2fjl — U + ^p^M + iq^'t-l' \l — I,

p, q, p,, q, étant des nombres entiers. La somme mu -+- a est donc de la forme

mu + c.-i- ^pm M 4- 2 (jf m c./ y — ' >

a + 0. m 6) — mu + 4 '^P^ '•'' + ^ mq,M' v — • •

Ces dernières expressions doivent donc donner pour leur sinus d'amplitude {mod. k'), etquels que soient les nombres entiers/?, q, /?,, q,, un nombre limité de valeurs distinctes, et il faut pour cela qu'en les représentant par des points du plan, suivant la métbode adoptée pour les expressions imaginaires, les sommels des parallélogrammes ainsi obtenus se trouvent tous parmi ceux des parallélo-

grammes qui représentent les périodes relatives au module k . Ces derniers peuvent d'ailleurs être en plus grand nombre, et les parallélogrammes dont ils sont les sommets, former des parties aliquotes des précédents, de telle sorte que les côtés qui représentent deux périodes soient respectivement représentés par la n'""* et la n"^'"" partie de ceux de l'autre, c'est-à-dire de deux périodes relatives au module k respectivement multipliées par le facteur m; et le rapport de deux périodes convenablement cboisies relatives au module ).' sera par conséquent égal au rapport de deux périodes relatives au module >., multiplié par la

fraction commensurable -•