Calculer la surface de l'ellipsoïde à trois axes

En désignant par S la surface totale de l'ellipsoïde, nous avons déjà trouvé (406)

s r' sinedi

.L (a'cos'9+b'i<in^9)'(a'

sxnede

'o (rt'cos^Q +6'.sin'9)'(a=cos'0 + e'sin»e)''' sin 0 de

'„ {a»cos'0,+ 6»sin»0)'(fl'cos»0 + cïsin'9)'

il ne s'agit plus que de ramener ces deux intégrales aux fonctions elliptiques. Soient

(a'cos'ô + 6'sln'G) = ft'( I j~^ — cos'0) = 6^(1 — sin' 4>cos=G;,

(a'cos'O + c''sin'ô) = cm i — cos'Ol = c'(i — sin'9 cos'O),

on aura donc

ces ffl ^ - 5 c'^b~^ n;

et soient

sinç cosO =:sin/, et sin^j^ cosO = /isinJi, on a

i'— sin'cpcos=0= cos^X, i— sin'^Jj cos^O=i— /i^sin=X = (A)% — sin9 sxnB dO =cosldl, ■

, sin'iL I — cos'di c^b^—a' sin^cp i — cos'ip b' c- — a''

b' c' — a' Les limites de X, correspondant à 6 = o, 5 = -^ sont- et ç, donc

Sicsinç ,„ r^cosld). . , f'^^^osldl

îsinç ., r'cosXc?>. ^ r^cosldl a}v. "~ Jo cos'XA Jo cosXA^

S6çsin9^^ r?^9__^^ /-'c??. • aa^- Jo Acos^o J„ A^'

or, en désignant / -~ par u, et / (/ip A par z, on trouve aisément

X ÂToT> = /.-(^^^"S?+/'«-^).

r?rf9 j^

'? do I / /l'sinmcosoX

donc

r-^ — = i!»'( A tanK9 -h /c 'h — z ) + c- ( 2 ^^

c'/r'sin^ cos

; 2(c^— /»') + b'/f"u + b'A tangç

Mais

«'—/)'= — ^ (C— a') = 6'/,"tang'<p,

6'Atang(p ^^ ^ ={lP ],'■'+ i'/r'cos'ç — cV.'cos'9) — ^ =«6//Mang9;

donc ou

Soit on a

--- î— = H tangcB -1- z cotcp h- -r)

S = ia''r. -+- iabT:{u langcp -i- z cotij

rt=:I, /> = 2, C=3,

cos9 = -=:-5» cos'cp = -5 lang'tp = 8, lang9 = v/8, 9 = 7o"3i'4'3",6i,

/f==f^l::i4' l('=~^ /'"=^' sin'G = ^, G = 66'' 42' 53", 77.

Nous donnons plus loin (685) le détail du calcul, déduit de l'emploi de l'éclielle des modules.

Emploi de /' échelle des modules.

683. Lorsque le module d'une intégrale elliptique diffère peu de l'unité, les séries employées dans les calculs précédents sont peu convergentes, et il est avantageux de recourir à la transformation des modules exposée au Chapitre VI.

Si l'on pose

rf do f- rfœ

Jù VI — A'sin^9 Jo yi — /i|sin'9

/r=--p-r-, tang(9, — 9)=:/f'iang9,

on aura (654)

i + A-, ' If', 2 2 v/c

En répétant un nombre quelconque de fois la même transformation, on obtient

la formule

u= ^''. 'f'i^ . ff'--^ r- ^y

2 v'/f ' 2 y'/f', 2y'/r'„Jo v^i — /(•,' sin'cp et comme A„ tend vers zéro lorsque n augmente, on peut écrire

9,14 /It'iK-- ■ff'n

En désignant par x la valeur limite de —^1 on aura