Considérons l'intégrale plus générale

P=: P(\ + Bsin'9) -— =£?=z- Jo Vi — /(•'sin'9

Si, après avoir posé A = sinS, nous faisons comme (654)

A, = tang'-,

tang(4' — ©) = cosô lang9,

'celte dernière équation étant équivalente à

sin(2 9 — 4'):= A-, sinvj/.

on en déduira

rfç 1-1- />■, d'^

y/i — /r'sin'9 2 y/i — /,îsin'tjJ

et

2 sin'9 = ' + /r, sin'i]> — cosv}' V^" — /iisln'4'- Par conséquent

P = — ■ / (A, -t-B| sin'Aj-- ^ ^ — smJ/,

où A, = A H ) et B, = -— • L'intégrale P est ainsi ramenée à une autre de

même forme. En désignant cette intégrale nouvelle par P,, on a

P = ^-=tl' (p. - ^ B sin ']^\ ,

et, en répétant la même transformation, on aura

P.= -^^'('P3-^B.sin|,V

P„ = '-^" (P„-., - - B,.-, sin ^n-,

On en déduit

— -F- Bsinij;(i + /i-,)+-5B, sin tj;,(i4-/c,)(i-i-/f •.)-+- ^^in4',(n-A-,)(n-/c2)(H-/.-3)-+-...

H- ^ B„, sin 4>„, ( 1 + /.-,)( 1 + /Cî )■•■( 1-+- /'") •

Cherchons maintenant la valeur limite de P„, lorsque n croit indéfiniment. Nous avons

Or kn tend vers zéro (653), donc B„ lui-même devient nul à la limite. Do plus

As = A,+ --B= = A+ - (B + B, 4-B,),

On en conclut

B/ A-, kjf, Ifjfjf,

par conséquent,

rP»-, P, = / A„ d'jfn = A„ 9„..,.

Le premier terme de la valeur de P devienl donc

a désignant comme précédemment la valeur de l'intégrale

Jo v^i — /i'sin'9 On peut donc écrire

P = A„ « - ^ f B sin •i^ -^-' + B, sin ^J;, ( '-~^'-') ( Mais

i-h II, 1 h

et en remplaçant B,, B^,..., B,; par leurs valeurs, on aura

p =: A„ Il .■ i y//,-, sin ^i + - \/fi\ /'> sin ij'i H — j v//<"i /""j /fa sin 4'j

Soient A == i , B = — Â-. On aura

P=/ rfoy/i — /i'sin'9,

et

par conséquent,

(20) I (/o\'i — A^sin'o = A„« 4- ' ( V''/iiSini|/ 4- - y'/r, /usind'. + >- v^A, /ij/i'sslni];;^-... )• Soient cp = -, i\i — n, ^, — an, (j^j = ^\n. On aura

Ç= / (/cp\Ai— /l'sin'ç =^ A„&), i/o