LM

et la différentielle deviendra

71. Les trois différentielles (i5). (iG), (17) peuvent d'ailleurs être ramenées à

une forme unique; il suffit de poser dans le premier cas

z = sin <f, dans le second

2 = COStp,

et dans le troisième

z = tang(p.

On a alors

dx d(f

\/{i — x'){i — K'x') v'» — K-'sin'9

dx d(f rftp

V I + K' dx , rf9 rf<p d(f

^(t-hx'){i-hK' x^) COS9 v'' -'-K-'tang'o ^cos'9 -1- K'sin'cp v'i — (' — K'jsin'cp

de sorte que la différentielle est ramenée dans tous les cas à la forme unique

d<f ^i — c^sin'y

Lorsque le multiplicateur du radical dans les formules précédentes est imaginaire, on doit considérer les différentielles

dx dx dx

On posera dans le premier cas

dans le second

COSIp

et dans le troisième

k CCS 9

On aura ainsi

dcf

sJ{x'—,){T+/,'x') fl + /(■'/"

1/ I y- sm=cï)

V i + lt'

dx 1 df

<i/{j + x-')(k'x'—i) <Ji + /,\ 7 k'

dx ^9

^{x'—i){i — 'k'x') V I — <■'' siiï' 9

<>2 nEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

72. Le cas où le polynôme R se réduit au troisième degré doit être particulièrement signalé : l'une des racines, â par exemple, doit être alors considérée comme infinie; la seconde des formules (12) montre qu'il en sera de même de D et les deux autres deviennent

y -ce' a-y

et enfin (i/|) devient

■0L)dx-

et la formule de transformation est

73. On peut d'ailleurs, dans tous les cas, ramener une différentielle dans l'expression de laquelle figure la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré à une autre où le radical porte seulement sur un polynôme du troisième.

Considérons la différentielle

F[x v^ — a.)(x — P)(x — y)[x — è)\ dx. On a

Posons

& — OCZ , {& — cx.]dz S — a X = ■ 1 dx = — ' X — a.^ 1

\l[x-a)ix-p)(x-y)(x-t]^ ^ -~-,\/ z^^ ■' " '—^-^-^ ^-^ '-^,

et l'on voit que la différentielle exprimée par rapport à s ne contient plus sous le radical qu'un polynôme du troisième degré.

74. L'intégrale générale considérée au § 67 ayant été mise sous la forme

où 0) (x) désigne une fonction rationnelle, les transfca-mations indiquées (68) et (73)

pourront s'y appliquer sans que le multiplicateur du radical dans l'expression nouvelle obtenue cesse d'être en fonction rationnelle de la variable. Examinons donc l'intégrale

J ^/A+Bz'

Si la fonction tj; {z) est entière, on peut décomposer cette intégrale en une somme de termes de la forme

/'• z" dz

j ~^k-hBz'+Cz'

Lorsque z est impair, on intégrera en posant z'- = u; s'il est pair, en posant

z" dz

s/A + Bz-'+Ci

On a la formule de réduction, facile à vérifier par la différentiatiou des deux membres

Z-+' ^'A + Bz^ + G 3' =: A ( « + I ) 9 ( M ) + B ( « + 2 ) cp (h + 2 ) + C ( « -H 3 ) 9 ( « + 4 ), par laquelle toutes les intégrales de la forme rp (ji) se ramèneront à

.|Wo)=j

^ JA + Bz'+Cz'