I CP 2 = I

[ J ^A + Èz'+Cz*

La formule de réduction est applicable lorsque n est négatif, et comme on a

I /-; iï 7^ — . /" dz „ r z'dz

-<JA+Bz'+Cz*^—A i ; -^ 4-C =^,

•z J z'\/A + Bz' + Cz' J \/A + Bz-'-hCz'

les intégrales de la forme

.-hBz-'+Cz>

peuvent, quel que soit le nombre entier pair n, être ramenées à la forme (A).

75. Lorsque la fonction (p [z) n'est pas entière, on peut se borner à examiner le cas où elle est paire et ne contient que z'-. On a en effet identiquement

,W ri — 't'(2)+^?(--Z) , 9(^)-?(— ■Z)

6i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

et l'on voit que toute fonction est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire; si on les désigne par ij>, (z) et ^i{z), «l'af^) sera égal évidemment à z\\i^ [z), tj^s (z) désignant une fonction de z^, et l'intégrale

Z'\i3{z)dz

s'obtiendra sous forme finie en posant z- = u,

La décomposition de la fonction ij;, {z) en fractions simples permettra de remplacer

r '\i,{z)dz

J V^A + BT» +"CT< par une somme de termes de la forme

et l'on aura la formule de réduction aisée à vérifier par la différentiation des deux membres

v/A + Bz=+Cz«^^2 2„)P(„2),2(,t i)(3C-B;F{n-i

-h(2n — i){2Bz — A—'iCz')F{n) + 2nz{A — Bz + C2=)F(/t + i);

l'emploi de cette formule permettra de ramener toutes les intégrales de la forme

,., r dz

J \/A + Bz'+Cz'

J {o:^z')^A+Bz-'+Cz' -,, , r dz C z-'dz

Jv^A + Bz^ + Cs< J VA-4-Bz'+Cz' En sorte que toutes les intégrales considérées sont ramenées aux trois forjnes

r dz r z' dz r

J V/A + Bz'+Cz'' J v'A+Bz^+C^' J(

Quelques intégrales qui se ramènent aux fonctions elliptiques.