Soit la différentielle

V{x)dx

\Ja + hx + ex' + dx' 4- ex* + hx'' -\- ax^

OÙ V{x) désigne une fonction rationnelle de x. Le radical qui se trouve au dénominateur peut être mis sous la forme

et si l'on pose

X = - (z± \fz- — /{),

la différentielle proposée prend la forme

x' ^a{z^—3z) + h{z- — f.) + ez + d = x'' \fV. On a d'ailleurs, comme on le voit aisément,

\,/x + i/ - = \Jz + -Î, v/.r- y/i =^z-2, ■

par conséquent et en différentiant.

dx <lz dz

La substitution de la variable sala variable x met d'ailleurs la fonction F(a;) sous la forme

où P et Q désignent des fonctions rationnelles de z, et la différentielle proposée est par suite ramenée aux deux suivantes :

et

Q</z v/z± 2 Q(z±:2) dz

et comme U est un polynôme du troisième degré en z,\][z± i) est du quatrième, et la différentielle rentre dans la classe précédemment étudiée.