Soit encore la différentielle

T(x)dx

)/a + hx' + cx^ + bx^ + ax^ où F(ir) désigne encore une fonction rationnelle de a;, on a

• vi^^ Flx) + ¥{-x) T{x)-F{-x)

le premier terme du second membre est pair et par conséquent de la forme <f (x-), le second est impair et de la forme xi]){x^). On en déduit, en désignant le dénominateur par \JR,

¥(x)dx o{x'') dx x<\/{x'')dx

/R ~ \/lÂ. VR

La substitution x" = z fait rentrer le second terme du second membre dans la classe des différentielles elliptiques, et ramène le premier à la forme étudiée (76). dans laquelle il suffit de supposer a = o.

78. Citons enfin quelques différentielles dans lesquelles figure un radical d'ordre plus élevé que le second, et qui peuvent pourtant se ramener aux différentielles elliptiques.

La différentielle

¥{x)dx

\ja + hx + ex'' + dx'

est dfins ce cas, F(a7) désignant, comme précédemment, une fonction rationnelle de a;.

Posons, en effet,

X étant une racine de l'équation

a-\-h'k+ cl- + dl' = o ; la différentielle prendra la forme

^/aj 4- p j' + yr'

Posons

on en déduit '

, — (3 dz y/^— 4 «y + 4 «z'

La différentielle ne contient plus d'autre radical que \//3^ — 4a7 + 4«-^- 79. Soit enfin la différentielle

sja + bx' + car'

OÙ F(x) désigne toujours une fonction rationnelle de x que l'on peut, connue ou l'a vu (77), mettre sous la forme xt^ [x- ^ -+- (j< {x- j. La différentielle devient alors

X(o{x']dx ^{x')dx

y/a + bx' + ex* y/ a + bx- + ex' Pour transformer le premier terme, posons

'y/a + bx^ + ex* = z.

— 6 ± y/6' — 4ac + 4<'-^'

et a; cte étant la différentielle de x'\ l'expression

(f{x')xdx (/« + bx' + ex*

ne contient plus évidemment d'autre irrationnelle que y/b'- — ^ac -+- ^cz\ Pour transformer le second terme, on posera

(i) ^a+ bx'^ -h ex' =^ xz,

^ — b±y[b' — ^ae + 4aa'

En différentiant la formule (i), après l'avoir élevée à la quatrième puissance, on

trouve

dx -ix'z'dz -îx'z^dz

xz~'b + 2x'{e — z*)~ ^JT— 4«c +Jâz'''

et la différentielle est ramenée à la forme annoncée.