INTÉGRATION DES FONCTIONS TRIGONOM ÉTRIQUÉS ET EXPONENTIELLES
80. Les méthodes employées pour intégrer, lorsque cela est possible, les différentielles qui contiennent des fonctions Irigonométriques et exponentielles sont extrêmement variées.
L'intégration par parties peut servir à faire disparaître la fonction transcendante et doit être essayée toutes les fois que celle-ci figure comme facteur et que sa différentielle est algébrique.
Les applications les plus remarquables de cette méthode sont contenues dans une formule générale que nous allons faire connaître.
Soit à intégrer la différentielle VQ" dx, P et Q désignant des fonctions connues de X. Posons
on aura, en intégrant par parties,
ÇvQ"dx::^l\Q"-n ip,Q"-''-^dx,
Tp, Q" ' ^dx=P, Q"- - („,) l'p, ^ Q«-^ dx,
fp. Q"- ''^ dx = P, Q" ^ - ( « 2 ) Tp^ ^ Q" -^ dx,
et ainsi de suite : on en conclut
(i) j PQ" dx = P,Q'' — nP,Q'-' + n{n — i) P, Q'-^ — . . . ± f .2.3. . . «P„+,.
Appliquons cette formule à quelques exemples. Soit P = a;'"-', Q = /a;, on a
n r^. , I ^"' n r •* '" dx X'" -, C X'" dx , .7.'"
P,-= \x"'->dx— —, P, = I ^ = — , P, = I — — ——■,■■■■,
J m J m X ni' J m' x /?*■'
et
{la:)-'m
(Ix)'-
j x"-' ( Ix]" dx= — \ ( Ix)" — «
et en faisant 7^ = 1,
l{lx}"dx = x[{lxy— n[lxY'' -\-n[ii~ i}{lx)"-''— . . . ± i .2.3. . . «].
Soitjencore P= i, Q = arc sina?, on a
P, = \ dx =^ X,
Jyjl-x^ V^^-f^^fi^^-x,
C xdx 1
J^Jy-x'
et l'on voit que P,, P.j, P^,... forment une suite périodique. La formule (1) devient donc
/dx ( arc sinx )" = Ne h ~ — nia — \) L arcsm.r
'arcsina;)-
(arc sina;)'
(arc sin.z-)".
81. l/intégration par parties donne aisément les deux intégrales (2) I e"cosbxdx, j e'"'sinbxdx.
On a en effet, en remarquant que e"-^ est la différentielle de — >
/, , e"cos6.r b T ... b"cosbxdx = 1 — I e"sinbxdx, a aj
/e^^si
... e" sin bx b C . ,
swibxdx =i I e" cou bxax,
et de ces deux équations on déduit
/' , , n f os6.r + h sin hx e"'cosbxdx z=^ , c".
/',,., , as\nbx — bcosbx e" sin bxdx = = e".
Ces formules peuvent d'ailleurs s'obtenir plus directement de la manière suivante On a évidemment
^(a.«V^l). ,,,-. ■(«-As/-,)
g(.a+6^— c Jl fj^ - g{a-+li^—l )x
a-hb v/^ ~ «' -^- *'
mais
e^''+''\^'^'z=(^' [cosbx -t- ^—1 sinbxj,
et en égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres, on retrouve les formules précédentes.
82. L'intégration par parties permet de réduire les expressions plus générales (3) j e" cou" bx dx , j e" sin" bxdx;
elle donne en effet
/e" cos" bx dx — cos* bx h ■ — I e"' cos'—' bx s'inbxdx. a a J
Une nouvelle intégration par parties donne
/<""' b r e" cos""' b'x sin bx dx ^^ — Ci)S"-'bx sinbx I e"'[cos" bx— {n~ 1)005"^'- bx sin- bx]dx,
et, en remplaçant sin^Aj:- par i — cos'-bx,
^— cos"~' bx sin bx \ e" cos" bx dx -\- [ n — 1) - 1 e" cos" ' x dx ,
a a J ' aj
e"' cos"~' bx sin bx dx
et, en substituant dans la première équation,
r , , a cos bx -i- nb sin bx , n(n — 1), T ,» /
I e"' cûs"bxdx:= e"' cos"' ' bx -+- ■-- -,- 0- 1 e"'cos" -bxdx.
Un calcul tout semblable donnera
/. , , nsinbx — nbcosbx . , nln-r- 1) , T . .
e°'sin" oxax:= j p"'sin"-'/>.r H ,~ 6' I e'^sm"-' bxdx. a^-\-n'b' a'-hn^h^ J
L'application répétée de ces formules permettra de réduire l'exposant n à zéro ou à l'unité, et d'effectuer par conséquent l'intégration.
Les deux intégrales (3) pourront d'ailleurs être immédiatement ranienées aux précédentes, en remplaçant cos" bec et s\a"bx par leur expression en fonction des sinus et cosinus des multiples de hx.
On a par exemple .
e"sin^xdx:= -j («sinar — 2 dosx) H --, -,
e"%\n^xdx^ («sinj;— 3cosx) H (rtsin.r — ros.r),
e"''cosj:rf:r == («cosar + sina:),
/',, , J C"COS^, . , 2C €f" ç.o's? x dx =1 — (flcos^r-i- 2sin.r) H , 4 + «' ^ ' rt(4 + «^)
/' ^^ ces' X 6 e"' e^CO%''xdx:= (acosa: + 3sina;)+ ; (â!COS.r 4-sina:).
83. Toutes les fois qu'une différentielle contient en facteur l'exponentielle e', on peut faire porter au choix sur l'autre facteur la différentiation ou l'intégration, de manière à obtenir la réduction la plus avantageuse.
Il est aisé d'intégrer ou de réduire de celte manière les différentielles de la forme
(4) e'^[x]dx,
OÙ F [x) désigne une fonction rationnelle.
Si d'abord F (a;) est une fonction entière, la différentielle se compose d'une
somme de termes de la forme
x" e' dx, et l'on a
I x" e' dx :=e'x'" — m j x'" •' e' dx; l'application répétée de cette formule réduira l'intégrale à
l f^dx - e'.
n . DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
Si la fonction F (a?) est fractionnaire, on la décomposera en fractions simples, et l'intégrale se réduira à une somme de termes de la forme
L'intégration par parties donne
Ç eJ' dx ^ \ r e'dx
et l'application de cette formule nous ramènera à la transcendante
'dx
dont l'expression explicite n'est pas connue, mais qui elle-même, si l'on pose X — a := z, se réduit à
ou encore, en posant e'^ = j, à
* dz e'
