Les différentielles de la forme
(5) siW" X cos" X dx
peuvent aussi s'intégrer, lorsque les exposants m et n sont entiers, a l'aide de réductions successives. On a, en intégrant par parties,
\ sm"" X cos" X dx z= \ cos"~' xç,osxs\r\'"xdx
= cos"-'.rH I s.\n'"^''xQO?,"-''xdx;
mais
sin"'+'.r = sin'"x ( I — ces' j? ),
et la formule devient
rsm"'^cos".y^.r^^'"'"'^''^'^"^""''^ + ^^-^ fsin"xcos''-'xdx-^l^ fsin-xcos"xdx; J . . 771 + 1 m-j- 1 J m -h i J
en faisant passer le dernier terme du second membre dans le premier, et supprimant le facteur > il vient enfin '
{ A) (7?i + 7i) I sin'"a?cos".rr^a; = sin'"+'^cos"-'a: + (7j, — i) j sir\''x cos"--xdx.
Cette formule permet de diminuer l'exposant n de deux unités. Il est bien entendu que si n est négatif, n — 2 étant plus grand que n en valeur absolue, on devra résoudre la formule par rapport à l'intégrale qui figure au second membre.
En dirigeant autrement l'intégration et mettant la différentielle sous la forme
sin"'-'.r sinx ces" .r^/.r,
on obtiendrait, par un calcul tout semblable,
,,., r . , sin"'~'.r cos"+'x m — r /* .
B \ s\n""x cos"xdx = -\- \ s\n''-^xcos"xax.
J ni-\-n m + n J
Les formules (A) et (B) permettent de réduire h volonté l'un des deux exposants de deux unités; en les appliquant successivement, on trouve
/ . , • sin"-'a:cos"~'x / . m — i \
/ sm"'j; cos"xdx = sin a-
-T i sin"''''xcos"~-x<lx.
Toutes ces formules, ainsi qu'il a été dit, augmenteraient les exposants négatifs, et l'on doit, quand ce cas se présente, considérer comme inconnues les intégrales qui figurent au second membre; on obtient ainsi, avec un léger changement de notation, plusieurs formules dont la vérification directe est facile, et que nous nous bornerons à écrire :
/sin'"j; , sin'""'.r m -— ^ /"sin" ^r , dx = , r ; I ax, cos"x (rt — t)cos"'"'x n — ij cos"~'x
/cos".r , — 005"-'^: « — I /'cos"-'x , —. dx := :—. I -; dx, sin'"^ {m — i)sin'"~'j; m — \j sin"'^^.r
/dx I m+ n— 1 r dx
sin"j7 cos°j7 [m — i)sin"'"':ccos"'''a7 m — i j sin'"~^j:cos''.r'
/dx I m + n — 2 r dx
sin'"a; cos".r (re — ijsin^^'ar cas"~'x n — i J sm"'x cos"~'a?
Les formules précédentes deviennent illusoires dans le cas où les dénominateurs /n— I et n— i sont nuls. On devra dans ce cas avoir recours aux formules (A) et (B) qui donnent
/sin"'r , sin"'-'ar fsin''-'xdx dx= h , cos.r m — I J cos^
roos".r , cos"""'.r rcos"~'xd.
—, dx = h j ; smj; n — I J sinx
dx
I —, ax = h I ; —
J sxnx n — i J sinj;
L Cale, in t. 10
L'application successive des formules précédentes permettra de réduire dans tous les cas les exposants de sina; et de cosa;, en ramenant l'intégrale 1 sin'"j: cos". rdx à l'une des suivantes
j dx = .T, ■=. .
1 da:sinx = — cosx,
I dx cos *• = sin x,
/* dcos^ .', X ,' — lang V X
/dx (^ dx , (t. x\ , (t.
J* dx r dx ,
—. = 2 I — . r=; lianex, sin^cosa;- j sina^ °
/lang-.r,
dx sm X ,
cosa:
('cosxdx
l sin:
sîn^c
85. En appliquant la formule (B) au cas où l'exposant n se réduit à zéro, on obtiendra l'intégrale 1 siQ'"xdx dont l'expression générale est, en supposant bien entendu l'exposant m entier, lorsque m est pair et égal à 2k,
/. i , cosx r . ,, 2/1—1 . ,, (2/1— I (2A-— 3) sin'^xdx = j- sin'*-'.r H , sin^' 'a; + f— j ^7— 5 t\ 2/r L 2/(— 2 (2/1— 2) 2/i— 4)
— sm'*~'J:: +. .
^ ' sin.r H y^ ï— ^ X,
et, lorsque m est impair et égal a 2k-\- \,
