COS'X

I -f- lang'a; cos'""''"x = {i + lang=x)'', et l'intégrale devient «

' tang"'a:(i -+- lang'jr)''"' É?langx; et, en posant tanga;

^"(1 + z-y -'dz,

qui s'intègre immédiatement.

89. Il est commode, dans un grand nombre de cas, d'exprimer les puissances de sina^etde cos a; en fonction des sinus et cosinus des multiples de x, de manière à n'avoir plus, dans l'expression réduite, que les premières puissances des lignes trigonométriques.

On a (1,385)

, , . , 2.2/1 ( 2 A- — i) , , ,. (?.cosa:f' = 2COS2/f .r -+- 2.2/. cos{2/. — 2)5; h cosi, 2/1 — 4):r •

2/f(2/,- — l)...(fr-(-l)

(3COS.r)'*+' = 2COS(2/f + i)ar + 2(2^- + i)cos(2/r— i).r -t-. . .

-+■ 2 ^ r cos^,

et par conséquent

I rsin2A-.r sin(2/i- — 2).r 2/»(2/r — i) sin(2/.- — 4).r

/, I rsin2A-.r , sin(2/i- — 2 cos-^xax=: — r— 1 1- ^k -, 2-*-' I 2/1 2/r — 2

■îk(2k—i)...{k-4-i)

I cos=* ' X

, 1 r'sin(2/(-H-i).r , , ^ s\n(ik—i)x dx=--\ W '- +[->.k + \]

2* I ik -\-\ ' ^' ' 2/t- — 1

{2k + i){ik—t) sin(2^-— 3)x

On trouverait de même

sin'*.r </x = -r-^ 7 -2/1-

i)'Tsin2/i.r , sin(2A^ — 2)x 2/f (aA- — 1) sin(2A- — 4)^

^j^ 2k [2k — i). . .{k -\- 2) sin2^

,. 2k [2k — i). . .{Il -\-\] X

.f/r + i) xl /^ 2J'

is\n''-^'x

•Ix :

-'- ces

On peut aussi simplifier certaines différentielles en décomposant ^\nmx el cos7n.r en produits.

On a trouvé (I, 404)

sinfa/f + i)^=:^C'sin^(sin-a: — sin' -,— — l(sin'.r — sin' — >— ^^ — )•• (sin'jr — sin' -7^" — \, \ 2/r + i/\ 2/1-1-1/ y 2k-\-\}

C étant une constante aisée à calculer. On a en effet

sin(2Ar 4- 3)j:= 2 sin(2/i-M)a; cos2x — sin(2/c — i)x

= 2sin(2/i- -I- i).i{i — 2Sin'jr) — sin (2/r — \)x.

et par conséquent, si dans le développement de s'\n{2k + j)x le coefficient de

sin^**'a; est C dans celui de sin(2^ + 3)x il sera — 4C', et comme pour A; = i ,

sinSx =: 3 sinar — 4sin=^,

il en résulte, quel que soit k,

par conséquent

sinfa/r -t- i).r = ( — i)'^'* sinx ( sin'.r — sin= —j-^ — | (sin'.r — sin- — ; )• • •