A-TT

et comme on a

sin'.r — sin-a = cos'a — ces' a:,

sin(2/r + 0ar = a''sin^(cos'a:— cos' -r- — 1 (cos^a: — cos= — ; 1 ■•( cos'.r — ces' ,'

^ ' \ i/f-^ij\ -i/f + il \ 2/1-1-1

on a aussi

sin9./i-^= a'* ' sinar cosa: (cos'a; — ces' -^1 ( cos'.r — ces' — r ) • • •

:(cos'^

XI cos'^— ces'

Il suffit, pour le démontrer, de remarquer qu'en vertu de la formule précédente et

de l'identité

sin?. A" a; = ?, sin(2^ — i)x cos^ -f- sin(9./f — 2) a:.

S'il est démontré que sin(aA — 2)x est exprimable par une fonction de la forme sinxF(cosa;), F étant une fonction entière de degré ak — 3, sin 2^0; sera exprimable par sina;F| (cosa?), F, étant une fonction entière de degré ik~ï. On peut

donc écrire

sJnaA- j: =: si|>a:F, (cos^),

et comme les racines de l'équation

sin 2 /r.r

sin^ sont

cosar = ±cos — Tî

cosa;=rt CCS — r»

, (/r-i)7r cosa; = ± ces ; ?

UVKE PREMIER. - LNTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 79

on aura

sin2

kx:= C, s\ax cos,r ( cos';r — cos' — V ) icos-x — cos'— 4^ 1 • • • X cos':c — cos- j — •

On trouvera eutîn d'une manière toute semblable, et quel que soit l'entier m, pair ou impair,

/ t: \ / 3t: \ r (im — i]t,"\

cosmr =: 2'""' cosar — cos cosx — cos — • • • • cos*- — cos — .

\ 2/n/ \ 2m/ | im J

90. Les formules précédentes permettent de décomposer les fractions de la forme

005/" .r cos'':c cos-'' a:

cosnx smi.nx sin(2«-i-i]a:

en fractions plus simples. En supposant dans la première n >/>, dans la seconde 2/i >>^ 4- I, et dans la troisième 2/t >/>, on a

sm ^ — cos'' ■

cos/'a; i ■^^ , , 2« in

COS a; — cos

cosnx M ^ ^ (2^--i-i)7r

in

— X / — f U->-i cin^ cos • — ' -*-

— . — > (— i)'+'sm' —

<.nx insmx ^^ in

sin2raj7 2«smx ^mà ■ ' m m \ Icii Irr^

cosa? — cos^ — cos.r + cos —

= ■— — --. — > — !)/'+' sm-

>.n + i)x {in + i)s\nx ^d ^ 2/1 •+• i

cos'

r ' ^ (-iK-^' ~i

I cos :r — cos cos a: + cos I

Si les inégalités admises n'étaient pas satisfaites, on pourrait toujours remplacer dans les fractions considérées le dénominateur par le produit qui le représente, cl, laissant de côté le facteur sinx, effectuer la division du numérateur par le polynôme en cosa?, de manière à décomposer l'expression en un polynôme entier multiplié

par -7—1 plus une somme de fractions simples de la forme — — ; 1 ; •

'^ &mx '^ '^ s\nx[a + bcosx)