L'intégration d'une différentielle de la forme

/COS/'ar cosnx

se ramènera, d'après ce qui précède, à une somme de fractions simples, telles que

ces a + cosar

dont l'intégration est facile.

On a en effet

X + a. X — a ces a + cosa: = 2 ces ces ?

. X -\- OC X — « . X — a X -\- a. sino: = sm ces sm ces 1

et par conséquent

. X — a. X + at. . X -h a x — a , , sin ces — sin ces

dx — fIX 2 2 2 2

cosa -f-COSJi; 2 sin a

/ X + a\ l X — «\ cos^-^-jcos(^---)

, ces ' I 4- tang - tang -

dx I . 2 __•__/ 2 2

cosa + cosa: sma x -\- a. sina x a.

CCS I — tang - tang -

= -. — sect. hyp. tang - tang -

sma •'' \ "2 * 2

92. Les différentielles de la forme --^-'- dx se décomposent en fractions simpies, telles que

sina; (a + hç.Q%x]

dont l'intégration est facile. On a en effet identiquement

6' sina; a — bzQ%x

sina;{a + 6cos.r) (a^ — '^^[(a + 6 cosar) («=—6») sina;

et par conséquent

Ç dx — * r h%\nxdx a Ç dx b^ rcosxdx

J sina;(a + 6 cosa;) "^ a-~ b' j â+'bcosx a'—b'J sina; d'—b'J sina;

-A.^^ l[a + b cosa;) + -^-^, / tang f + ^

smx — X cos.r, \smx dx z^ix sin^ — f.r' — 9.) cosx.

93. L'intégration par parties permet de réduire successivement les différentielles de la forme x"" ûwxdx, x'" cosjcdx, x'" a'' dx, on a

I x"' sin X dx = — x'" cosar 4- m j x""^' cosx dx,

fx.cosrdx = x^sU.x-mfx^^'s.nxdx,

x"" cfdx z= — — 1 x"'^-' a' dx.

Lorsque m est entier, l'application répétée de ces formules ramène les intégrales cherchées à l'une des suivantes :

I sinxdx:= — cosa:, / cosjrrfa? = sina;, ja'dxz^r-- On trouvera par exemple :

1 xs'inxdx^: sir / .r=.sir

/x3sin.rf. = (3.= -6)sin.-(.-6.)cos., I x' sinxdx = (4^'— 2^x) sin^ — {x'— i-ix^+ 3.4) cosar,

et ainsi de suite;

I X cosar dx = cosar + x sina:,

I x'cosxdx = 2a:cosar+ (a;'— 2)sinx,

/ a:'cosa:rfa: = (3ar'— 6) cos.r + (x^— 6a:) sin. r,

1 a:' cosx dx = (4-^' — 24ar) cosar + (a;* — i?.ar^+ 24) sin. r,

et ainsi de suite.

94. Parmi les formules analogues aux précédentes, nous citerons celle qui permet d'abaisser l'exposant n dans l'intégrale

/xdx sin'x On a

d nxcosa: + sina: «'ar sin'a:— re (n + i)a:

dx sin"+'j? ~~ sin"+»a? '