Cale. int. I I
et par conséquent, en intégrant les deux membres et transposant,
/xdx nx co?,x -\- s\ï\x n r x dx
sin"+'ar n{» + i^in"+'x n + ij sin"x'
■^^„+,^ se réduira, suivant
/x dx • ■ • »
- — 1 qui -n'est pas exprimable explicitement, ou a
/— := — arcota7+ I cotarrf.r =3 — xcol.5? 4- /sinar. sin'.r J
On trouverait de mênie
/xdx «a;sinar— cosa; n r x dx
cos"'*"'a7 n{n + i) cos"+' a; n + i J ces"*- '
par laquelle l'intégrale pourra être réduite, dans le cas où n est pair, à
X dx
= X lansx + / cosar.
ces' X ^
On a par exemple :
'xdx
et ainsi de suite; ' X dx
= — .r cot.r + ^ sina:, sin'x
xdx sinar'+ aarcosx 2, , • ,
— = 7^-^—, :;r (^COla^ — I Sinx),
sin'ar Dsin'a: 3
xdx sinar + 4^cosx 4 sinx 4- 2.r cos.r 8 , . i ■ \
sin^x 2osin'ar 5 osin'x i5
CCS- 37
X langj; + l cosx.
/xdx 2.rsin.r — cosj? 2, , ,
• — -— = 7i -, h ô (artangx + /cos.r), ces* X b cos'x 3
/xdx 4-^sinar — cosa: 4 2a:sina; — cos.r 8 , , , , ,
cos'x aocos'J? 5 bcos^a: i5
et ainsi de suite.
95. On peut réduire par décomposition les différentielles de la forme
cosnxdx cosnxdx
cos''a^- sin''j:
LIVHE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. On a en effet identiquement
cos nx 2 cos ( « — I ) .r C03 ( w — 2 ) .r
cos''.r cos''^'^ ^ cos''jr
cos nx 3 sin [n --\)x ros( n — i) x
sin^A-
sin''-'x
sin ''a;
et par conséquent
rcosnxdx r co«,(n — \) X dx /*cos(n. — o.) x (
cosPx J cosf-'x J COS/'^F
/ cos nxdx rsin{n — \)xdx rcos{n — 2)
sin/'j; ^ J sin''-' a: J sïni'x
sin/'a; On trouvera de même
/s'innxdx P s'inin— i)x , Ç" siT\{n~ i)x
cosi'x J cos''-'.r J cosi'x
/sinnx rcos{n — i)x . l'sinl n~ i)x ,
sini'x J sin''-'.r j sin''j; '
et l'application répétée de ces formules facilitera l'intégration des différentielles auxquelles elles se rapportent, en les réduisant à d'autres de même forme et de plus en plus simples.
96. La méthode d'intégration par substitution peut aussi s'appliquer avec succès aux fonctions transcendantes.
Toute différentielle de la forme
F (sinjT, cosa;) dx,
dans laquelle F désigne une fonction rationnelle, peut être rendue rationnelle par rapport à x. Si l'on pose en effet
lang- X ^=: z,
OD a
sma:
cosj; = —
dx
dz
et la substitution de ces valeurs rendra la différentielle rationnelle par rapport à z.
Si DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
97. La méthode précédente est générale, mais on peut souvent recourir à d'autres artifices plus avantageux.
Soit, par exemple, la différentielle
dx
asin'x + bcos-x
On peut l'écrire
dx
aung^x + b'
et, en posant
tanga? = z,
elle devient
dz
az' + b'
qui s'intègre aisément.
