La différentielle

dx

[a H- bcosx]"

peut s'intégrer par des réductions successives. Posons en effet

/dx Asin^c /" B-f-Gcosx ,

[a + bcosx)"~ {a + bcosx)--^' J {a + bcoux)"-' '

A, B, C étant trois constantes, que nous déterminerons de manière à rendre les deux membres identiques. En différentiant les deux membres de l'équation, et

idenlifiant les résultats, on trouve

1 = Acosa;(a + 6cosx) + (« — i)Afesin-.ï- + (B + C cosx){a + b cos.r);

en remplaçant sin'-a; par i — cos^o;, et remarquant que l'équation doit avoir lieu quel que soit cosa;, on en déduit

(« — i) A6 + Ba = i,

Aa + Bb + Ca = o,

A— (« — i)A + C = o, et par conséquent

A—- T- -; D=— nr' t,=

a'' — b^ Il — i b^ — a}

et la formule de réduction est

/dx I h sina^

[a-\-b cosa:)" n—id'—b^[a + b cos^ )"-'

I I r{n — i]a — {n — 7.)bcosx .

n—i a'—b'j [a + bcosxf-'

On a d'ailleurs

(n — \) a — [n— i)b cosx —(n — 2) (2/1 — 3)a

{a + bcQsx)"-' [a + b cosx)"-' [a + bcosx]"-'

et la formule devient

dx bsinx n — 1. C dx

r dx fcsinj; n — i Ç

j {a + bcosx)" "~ ~ (« — i'H»'— b') {a + b cosj?)"-' "^ (« — i){a= — 6=) J (a + b cosa; )"-'

(2/1 — 3) a r dx

{n—i)(a' — b')J(a + bcosx]"-'^

et par l'application répétée de cette formule, quel que soit l'exposant entier n, on le ramènera à l'unité.

On trouve ainsi

/dx isin:r n r dx

{a + b cosa;)' ~ {b'— a'){a -\- b cosx) a-— b' J a -h b cos^

r dx I r{b'—à-)bs\nx Sabslnx H 2a' + b' Ç dx

J [a + bcosxy ~~ (6- — a-]' \2{a+bcosx]' a{rt + 6cos.r)J 2(6' — a'fj a + bcosx

et ainsi de suite.