Soient encore les différentielles

ces px dx cosnx

s\n pxdx cosnx

où n et/? désignent des nombres entiers. La première est la partie réelle et l'autre le coefficient de V— i dans

cospx -h \/ — I sin/>ar .

cosnx

On a identiquement, en multipliant les deux termes par cosnx+ \/—i sinnx,

cosp.v + \/ — I siny?^ cos{p + n)x+\/ — i sin{p + n)x

cosnx , | cos -2 wa: + v' — isina/ia:

Si donc ou pose

cosa: + v'— I sinar = z,

dx{ — sin.r + y'— • cosa^) =z \/—t d.r = dz, on aura

cospx -h ^ — I sin/>^ , OidzzP-*-"

cosnx ~~ z v'^(n-z-")'

et le calcul est ramené par conséquent à la recherche d'une intégrale rationnelle.

104. Un artifice analogue permet d'intégrer les différentielles

CCS px dx

s\nnx

s'\n pxdx sinna:

qui se déduiront évidemment de ,

/cospx -+- y/ — I s'mpx , sinn.r

Or on a, en multipliant par cosna; — s/ — i sinna;,

cospx + v'— I sin px — [cos(p — n)x -h ^—i s'injp— n)x] \/— i

sin«.r I — cos2«.r -I- y/— I sinanr

Si donc on pose

cos.r -t- y/— I sina: = z, et par conséquent

, dz

dx =

on aura

cospx -h \J—i sinpx . — z''-"dz z '">-"-' dz

sinnx ~~ / i \ ~ i — z"'

et l'intégration est ramenée par conséquent encore à celle d'une fraction rationnelle.