SUR L'IMPOSSIBILITÉ DE CERTAINES INTÉGRATIONS

105. Le nombre extrêmement, limité des différentielles que l'on sait intégrer ne s'est pas accru d'une manière notable depuis les premières études sur le calcul intégral, et tout porte à croire que la plupart des intégrations sont impossibles à l'aide du petit nombre de signes analytiques choisis pour représenter les fonctions arbitrairement nommées fonctions simples. Plusieurs Géomètres, en étudiant cette question, ont obtenu des résultats remarquables dont les plus simples font l'objet de ce chapitre.

Théorème d'^bel.

106. En désignant par y une fonction algébrique de la variable x, c'est-'a-dire une fonction définie par une équation rationnelle

si l'intégrale

•dx

est elle-même une fonction algébrique de x, elle est exprimable par une fonction entière de y dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x.

Admettons en effet, ce qui évidemment est toujours permis, que la fonction Ffx,j) = o, qui définit la fonction r, soit irréductible, c'est-à-dire du moindre degré possible par rapport à j, posons

^ydx.

y désignant une fonction qu'il faut considérer comme parfaitement déterminée entre les limites de l'intégration et qui devra être distinguée par des indications suffisantes des autres solutions de l'équation (i).

Admettons qu'il existe entre x,y et u une relation algébrique