Catr. itit
que l'on peut toujours, comme on sait, supposer rationnelle et irréductible par rapport à u.
On en déduit
(3) ^ ^il^ + 'll^~o;
dx dy dx du dx
l'équation (i) donne d'ailleurs
^^' dx dy dx
En éliminant entre ces deux équations la dérivée -j- et remplaçant --r- par sa valeur y, on obtiendra une relation de la forme
L'équation (2) étant irréductible, il résulte d'un théorème bien connu d'algèbre, que les équations (2) et (5) ne peuvent être satisfaites par une même fonction u, sans que toutes les solutions de (2) satisfassent également à l'équation (5). Mais j étant toujours la fonction déterminée de x dont l'intégrale est représentée par u, si u^ désigne une racine quelconque de l'équation (2), on aura
et par conséquent
rfcp ddf dy d(o dUi
dx dy dx du, dx
L'équation (5), à laquelle satisfait «,, équivaut à
d(f rfcp dy dcf
dx dy dx du, ' '
dont la comparaison avec la précédente donne évidemment
du,
dx
Toutes les racines de l'équation (5), et par suite celles de (2), ont donc même dérivée par rapport à x, et par conséquent deux quelconques d'entre elles ont une différence constante. L'une de ces constantes étant considérée comme connue, on peut, en l'introdufsant dans le calcul, abaisser le degré de l'équation (2), qui, contrairement à l'hypothèse, ne serait pas alors irréductible, et il faut, pour échapper à la contradiction, qu'elle soit de premier degré en u.
107. La seule forme possible de l'intégrale u est, d'après la démonstration précédente,
/, et/i désignant deux fonctions entières de x et de y. Quelles que soient ces fonctions, l'équation
à laquelle satisfait y, permet de transformer l'expression de u en éliminant/ de son dénominateur.
Soient y,, y., j„ les diverses racines de l'équation (i) et j, celle à laquelle
se rapportent l'intégration et la forme de l'intégrale que nous étudions, on aura
f,(x. r, ) f,{x,x,)f,{x,Xi)-- • M^^Xn)
^ fA^, r')~~ f'i^, r')fA^> r-')- ■ ■ fi^^' r-}'
et le dénominateur, fonction symétrique de y,, y.,,..., y,i, est exprimable rationnellement en x; quant au numérateur, on remarquera, pour le transformer, que J2. ya,-.., y„ sont les racines de l'équation rationnelle
dont les coefficients contiennent x ely,. Le produit
peut donc s'exprimer en fonction entière de x et dey,, et, par conséquent enfin, u est une fonction rationnelle de x et de y^ entière par rapport à j, . Il est clair d'ailleurs que si l'équation (i) est de degré n en j, on pourra s'en servir pour éliminer de u, y" et les puissances supérieures de y qui se déduiront de l'équation (i) elle-même et de celles que l'on obtient en la multipliant par y, y-, j'
en sorte que la seule expression possible de l'intégrale u est, lorsqu'on la suppose algébrique,
Po, P|,. ., P„, étant des fonctions rationnelles de x que l'on pourra chercher par la méthode des coefficients indéterminés, qui, dans l'immense majorité des cas, montrera l'impossibilité d'une intégrale algébrique.
108. La démonstration précédente suppose essentiellement la présence de la fonction j dans l'intégrale que nous avons désignée par u, et il ne semble pas, par
conséquent, qu'elle puisse rien apprendre sur la forme des intégrales exprimables en fonction de x seulement; mais cette difficulté n'est qu'apparente, et un peu d'attention suffit pour le montrer. Lorsque l'on a, en effet,
on peut, d'une infinité de manières, déduire de ces deux équations une relation entre 07, j et u, et comme cette introduction de j peut se faire sans changer le degré par rapport à u, la condition d'avoir une équation irréductible par rapport à cette inconnue, c'est-à-dire de moindre degré possible, peut évidemment être remplie pour une relation de la forme qui a été admise dans la démonstration précédente.
