Considérons, pour premier exemple, l'intégrale

' dx

rdx

égale, comme on sait, au logarithme Népérien de x, et cherchons, s'il est possible, de l'exprimer algébriquement. Comme on a ici

l'intégrale u, si elle est exprimable algébriquement, doit être, d'après le théorème précédent, une fonction rationnelle de x, et l'on doit avoir par conséquent, dans cette hypothèse,

<f{x) et f{x) désignant des fonctions entières de x : une telle identité est évidemment impossible. Si l'on y suppose en effet x infini, on voit que les deux membres

O i jc\ • ■» •

ne peuvent pas être des infinis de même ordre, la fonction ^r- > devenant infinie

avec X, est, en effet, au moins comparable 'à x, ei Ix est infiniment plus petit.

110. La démonstration précédente suppose que l'expression de Ix soit applicable à toutes les valeurs de x. On pe.ut se demander s'il est possible qu'elle soit exacte entre certaines limites seulement, mais une telle supposition n'est pas admissible. Si l'équation

était exacte en effet pour les valeurs de x comprises eutre deux limites données, les

dérivées des deux membres seraient égales, et l'on aurait, entre les mêmes limites,

Cette équation algébrique, ayant lieu pour un nombre infini de valeurs de x, est nécessairement identique. Les deux membres de (8) ont donc même dérivée, quelle que soit x, et diffèrent par conséquent par une constante, qui, évidemment, est ici égale à zéro.