Soit, en second lieu, l'intégrale (lo) idx"^X
X désignant une fonction rationnelle de x. On a, dans ce cas,
et si l'intégrale est algébrique, on aura (107)
(12) Çdx 7x = p„ + p, 7x + p. (7X)= + . . . + p,,,-, (7x )"•"',
Po, P|,---' P/H-i étant des fonctions rationnelles de x.
On peut prouver que toutes ces fonctions sont nécessairement nulles à l'exception de P,.
L'équation (12) donne en effet, par la différentialion, en y remplaçant yX par/.
dK
" dx
, dP,
+ ^' dx
dx
dx
déduit
de (11)
dr
dx~
dX dx
iny"- '
l'équation (i3) fournit une relation rationnelle entre x et y, qui, d'après un tbéorème bien connu d'algèbre, doit admettre, quand on y considère y comme inconnue, toutes les racines de l'équation (i 1). On a donc le droit d'y remplacer / parja, a étant l'une quelconque des racines m'""" de l'unité, et l'on aura par conséquent, en intégrant les deux membres après les avoir multipliés par dx,
« I jrf^ = P. + P, «)•-+- P, a\r' -f . . . -f- Pm- , a"-')-"-';
i)i DEUXIÈME PARTIE^. - CALCUL INTÉGRAL.
multipliant par a'"^' et faisant la somme des équations analogues relatives aux
m valeurs de a, en remarquant que, pour toute valeur de p inférieure à m, on a
nous aurons
(i5) m I ^dx = mV^y,
et, par conséquent, tous les termes du second membre de (12) sont nuls, à l'exception du second P, j.
112. M. Liouville, qui a obtenu le. résultat précédent, a prouvé en outre que l'intégrale supposée possible sous la forme trouvée, peut être ramenée à ne contenir pour inconnue qu'un polynôme entier.
Reprenons l'équation
(i6) (""^/Xdx^P/'^X,
où X et P, représentent des fonctions rationnelles de x. Posons
M et N étant des polynômes entiers, on a
Vn 7mF^ 7t'
On pourra poser de mémo
7T ô étant une fonction rationnelle de x. Soit donc
M et T étant deux polynômes entiers donnés, et 0 une fonction rationnelle inconnue.
On trouve par la différentiation, après avoir chassé les dénominateurs,
l ) MT — T — — — 9 -— •
' ' dx ni dx
En considérant dans cette équation Q comme inconnue, on peut prouver que les
seules solutions rationnelles sont entières. Supposons en effet
U et V étant des polynômes entiers. Nous ferons voir que V ne contient pas .r, en démontrant qu'il ne peut être divisible par aucun facteur linéaire de la forme (x -h a). Posons en effet, s'il est possible,
W étant, bien entendu, un polynôme non divisii)le par^r-ha; nous aurons
rfe aU Wj-uw'
et l'équation (17) devient
(18) W'MT(x + «)« = -;^^^^ + (WU'— UW')T- -UW?-
{x -i- a) m dx
Cette équation prouve que le produit TUW doit être divisible par x -\- a, et comme ce binôme ne peut diviser ni U, qui est premier avec V, ni W, il est nécessaire qu'il divise T. Faisons donc
R étant premier avec x + a.
On aura
^ = (" + '^)^rfï+/^^(" + '^)'' •
En substituant les valeurs de T et de -^ et divisant par [x -+- ay, l'équation (18) devient
* m dx \ m / X -h u
égalité absurde, car elle exige que UWR soit divisible par a: + a, qui, d'après nos suppositions, ne divise ni U, ni W, ni R. Il est donc enfin prouvé que l'intégrale
Mdx
OÙ M et T sont des polynômes entiers, si elle est exprimable algébriquement, est nécessairement de la forme
6 étant un polynôme entier.
Le degré du polynôme ô doit être, lorsqu'il existe bien entendu, inférieur d'une unité à celui de M. On doit avoir, en effet,
de di
M dx \ dx
et si dans cette équation on fait croître x indéfiniment, on voit que les deux
dT
membres ne peuvent être de même ordre que si -,- et 0 -^r-f tous deux évidem- '^ ' dx 1
nient de degré inférieur d'une unité à celui de 0, sont de même degré que M.
D'après cette remarque, la méthode des coefficients indéterminés permettra de
trouver l'intégrale, si elle est algébrique, ou de prouver qu'elle est impossible
sous cette forme.
