e) = 7rl&)4-C

la constante variant avec la valeur de fji, et devant être évidemment égale à

7î {p.) — n{o). Or l'équation

7r(a + e) = 7r(;ji)+7:(e)-7:(o)

montre que ^{d) est de la forme kd, k étant une constante; c'est-à-dire, d'après le point de vue où nous nous plaçons en représentant l'intégrale par n {$) une fonction de a: indépendante de 0, on aura

ydx — ke+fix),

k eif{x) ne contenant pas 9. Mais comme il est permis, d'après ce qui a été dit, de remplacer Q par Q -\- p/xX faut nécessairement que k soit une constante, et enfin 6 ne peut figurer qu'au premier degré et multiplié par une constante, il ne se trouve donc sous aucun signe logarithmique, et sa présence dans l'intégrale ne rend pas la transcendante de seconde espèce.

119. Lorsque l'intégrale d'une différentielle algébrique j «/a; est exprimable explicitement à l'aide des fonctions simples précédemment considérées, elle est nécessairement de la forme

ydx = < 4- Alogi< + Blogc + . . .-f- Clogw,

A, B,..., C étant des constantes, et/, u,..., wf des fonctions algébriques. Si l'on suppose que les logarithmes qui figurent dans le second membre aient été réduits

au moindre nombre possible, le rapport de deux des constantes A, B,..., C ne peut être rationnel. Si l'on suppose en effet

A = Br,

r étant rationnel, il en résulte

A loga 4- B logf = B log </«"■,

et l'on peut par conséquent réduire à un seul les deux logarithmes logu, logi».. Il est permis en outre de rejeter comme impossible toute relation de la forme

A« + B6 + . . .-!- Cc=:o,

a, b,..., c étant des nombres rationnels; on en déduirait en effet

Bft Ce

et par suite

i)dxr=t-^B\o^,\vu " j 4-...4-Clog\a'K "/ ,

et le nombre des logarithmes contenus dans l'expression de \ ydx pourrait, contrairement à notre hypothèse, être diminué d'une unité.