La formule

/ 4- A logM -I- Alogi' + ...-+- Cloga'

i ydx = ,

étant réduite, comme nous l'avons dit, au moindre nombre de termes possible, Abel a démontré, par des raisonnements analogues à ceux qui ont été rapportés (114), que chacune des fonctions t, u, t',..., tv est exprimable rationnellement en fonction de x et de j.

Imaginons, en effet, comme (114), une fonction X telle, que toutes les fonctions ^ m, f,..., «^ se puissent exprimer rationnellement en X, X et y, 1 étant une fonction algébrique et satisfaisant par conséquent à une équation dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x. Nous les supposerons rationnelles en x et en y, ce qui simplifiera le raisonnement.

Soit

l'équation en X, et [x. son degré. Supposons, ce qui est permis, que X ne puisse èlre racine d'aucune autre équation de même forme et de degré inférieur à ]u,.