I. Calr. int. l

Différentions l'équation (A) / yclx — t — AlogM — Blogf — . . .— Clog«'=:o,

nous obtiendrons une relation de la forme

où f est, d'après ce qui précède, une fonction rationnelle de x, y et /, et si cette équation y =: o est satisfaite, l'équation

j jrdx — t 4- AlogM + Blogc + . . . + Clogt

le sera également. Mais l'équation ç = o étant algébrique en X, il suit d'un théorème connu qu'elle sera également satisfaite en mettant au lieu de X une quelconque des racines de l'équation irréductible V = o, et l'équation (A), où t, a,..., w sont des fonctions de x, y et X, aura lieu par conséquent quelle que soit la valeur de X, pourvu qu'elle satisfasse à V = o.

En remplaçant successivement X par les f/ valeurs X,, Xa,..., X„., on obtiendra jx équations de même forme qui, ajoutées membre à membre, donnent

fi j fdx = t, -h l^ + . . . + t/;, + AlogM, «2- • .M/i + Blogc, fj. . .f/i-i-. . . + ClogWi (Vj. . .w^/,

et, par la théorie des fonctions symétriques, on peut évidemment exprimer le second membre sous la forme

T + A logU + B logV + . . . + C log W,

où T, U, V,..., W sont des fonctions rationnelles de x et de j.