Considérons en particulier l'intégrale

Pdx

où P et R sont des polynômes entiers quelconques, y étant égal ici à — ? toute

fonction rationnelle de x et de y est évidemment de la forme a + |3 y/R . ou, si l'on

û veut, ïj + -::=• «, p, ïj, 6 étant des fonctions rationnelles de x, l'intégrale (i), si VR

elle est exprimable par une fonction explicite, doit être de la forme

(2) r^=-/î + -|=4-AIog(« + (5vAR)+plog(y + ô/R)+...+ Clog(p + «rv/ÏÏ).

J vR vR

L'équation obtenue en différentiant les deux membres de (2) devant être identiquement satisfaite, et yR n'étant pas par hypothèse exprimable rationnellement, il faut que son coefticient soit nul ainsi que la somme des termes indépendants du radical, et l'on peut, par conséquent, dans l'équation ainsi obtenue, et par suite dans (2), changer ^R en — \/R; on aura ainsi

(3) - ^^■=■fl__L+Alog(«-[3^/R)+Blog(y-oVK)-^-..•,

J vH vR

et, en retranchant membre à membre les équations (2) et (3),