z^ == -^ + A log ^-^ H- B log ^ V
—^ lorsqu'elle est exprimable explicitement.
122. Abel a cherché, dans un Mémoire fort élégant, dans quel cas l'intégrale peut se réduire à un seul terme. On a alors
P rf.r a -t- p v'R
j VR «-(3v/R
a, p et R étant, de même que P, des fonctions entières de x. Posons
z — log ^-^ :
on a
dz — ^f±^Nj \ da.-d{i^sP^) ~ a + (3/R «-(ây/R
ou
. (« - e y/ Rj [rfg + 6^((3 vTR)] - (a + (3 yAR) [(/« - rf ((3 yl)] ^~' «'-(3»R '
c'est-à-dire
, 2a</((3VR) — 2(3^1 (/« — a^ - (3' R
inS DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
Or
donc
et en faisant
d{py/R)=^Kd^ + ^^j.,
. «(3rfR + 2(arf|3- j3rf«)R.
az — ;=- — •
on aura
dz = ,__ .
Ny/R
log '^
Mdx az =
et par conséquent l'équation
rvdx J VR ""°a-Pv'R
est satisfaite si l'on prend P = rr-
En différentiant l'équation
on obtient
d'S = 2ocdoc^2^d^R-^'dR,
et, en multipliant par a,
«rfN = 2a^rf« — 2a[3fl(i3R— ajâ^rfR,
et, en remettant pour oc* sa valeur N + |3'-R,
«rfN;=:2N(/«4-2p2c?aR-2a(3rf{3R-a|3»rfR,
et, d'après l'équation qui définit M,
ou
SM= 2N j a j— '
OU
M I / rfa rfN
^7- I a -1 et
N fi \ dx Ndxf
et, si l'on veut que j^soit une fonction entière P,
V. -rr-j- doit donc être une fonction entière de œ. En faisant
N = (.r + rt)'"(x + «,)"''.. .f^ + rt,,)"",
on aura
îidx X + a X + a, ' ' ' x + a„
donc
X + a X -k- Ui
doit être une fonction entière, ce qui ne peut avoir lieu, à moins que le produit
{x + a) {x + a^) . . .[x -\- a„) ne soit facteur de a, et l'on peut écrire
oi:={x + a)(x -\- ai). . .[x + an)a.i,
où a, est une fonction entière.
Or
donc
(.r -+- a)'" (x + «,)'"'. . .{x +a„)"'' = 3i.'\{x-\- aY{x + ai]\ . .(x + a„)^ — {3^R,
comme R n'a pas de facteurs de la forme [x ■+■ a)* et que l'on peut toujours supposer que Cf. et jS n'aient pas de facteur commun, il est clair que
R = { « H- rt ) ( a: 4- a, ) • • • ( •«' H- «« ) Ri .
OÙ R, est une fonction entière, et N est par conséquent facteur de R. En substituant les expressions de a et de R, dans les équations qui définissent M et N, on aura
«;N-i3'R,=:i, M „rfR (dp adoc\^ ,,
La première de ces équations déterminera la forme des fonctions a,, ]S, N etR,, et celles-ci étant déterminées, la seconde donnera enfin la fonction P.
La résolution de l'équation
afN-(3'R, = i,
où a,, |3, R| et N sont quatre polynômes inconnus, est un problème d'analyse indéterminée algébrique fort élégamment résolu par Abel, et pour la solution duquel nous renverrons à son Mémoire.
