CALCUL DIRECT DES INTÉGRALES DÉFINIES

Passage de Vintégrale indéfinie à l'intégrale définie.

123. Lorsqu'on connaît l'intégrale indéfinie d'une différentielle, on peut en déduire l'intégrale définie prise entre des limites données quelconques. Si l'on a

il en résulte

(2) f cf{x)dx = 'F{b)-~F{a).

Ja

Cette intégrale représente, comme on l'a dit (2), l'aire comprise entre la courbe dont l'équation est j = ç (a;) et les deux ordonnées perpendiculaires qui répondent aux abscisses a et è.

La formule (2) suppose, bien entendu, que la fonction o [x) soit déterminée pour chaque valeur de a;; et si, par sa définition, elle comporte plusieurs valeurs, il faut adopter celle dont la dérivée est F {x).

Quant à la fonction F(j:), elle doit être supposée continue, car sans cela son accroissement total ne serait pas égal à la somme des accroissements infiniment petits qu'elle reçoit successivement, et la formule (2) serait en défaut.

Cette dernière remarque est fort importante. Elle indique, dans certains cas, le choix à faire entre plusieurs valeurs qui, se présentant ensemble, donneraient pour une intégrale bien définie un résultat en apparence indéterminé.

On a, par exemple, en vertu de la formule (2),

/-<-' dx ; = arc lang i — arc tang — i .

La fonction arc tanga? est mal déterminée : à une même tangente correspondent un nombre infini d'arcs difiérents. Les deux termes du second membre de (3) sont donc séparément indéterminés, mais leur différence ne l'est pas; elle représente l'accroissement d'un arc qui varie d'une manière continue depuis la valeur pour

m DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

laquelle la tangente est — i jusqu'à celle pour laquelle elle est + i . Le premier de ces arcs a pour expression ku — 'ji k étant un nombre entier arbitraire; mais ce nombre étant une fois choisi, on ne doit plus le changer lorsque l'arc augmente jusqu'à la valeur ^7: + 'ji dont la tangente est +i. On a par conséquent, sans aucune ambiguïté.