Considérons encore l'intégrale
■' sin X dx I -H cos^a:
On a évidemment
sin X dx I
arc tang
cos^x cos^
et par conséquent, en appliquant la règle générale,
^ %\Vixdx I I ( r\ — - = arc lang r. arc tang = arc tang — 1/2 1 — arc tang i ,
l-+-C05^J? 6-11 ^ COSO o\ V / o
ces -7-
Pour savoir quel sens il faut attribuer ici aux expressions mal déterminées arctang(— v^a) et arctangi, considérons la fonction arc tang — — d'où elles proviennent, et prenons arbitrairement pour a; = o
arc tang =arctangi = 7-
° coso ° 4
X variant de zéro à -•, la fonction augmente de -7 à ^5 et il n'y a aucune difficulté;
mais si l'on franchit la valeur xr= -, la fonction, qui représentait un arc dont la
tangente est très-grande et positive, représente un arc dont la tangente est trèsgrande et négative. 11 faut, par la continuité, prendre cet arc positif et un peu
plus grand que -•, de sorte que x continuant à croître, on devra, pour x = -^, 2 4
prendre
1 / ,-, St:
arc tang ^— = arc tang ( — y'a j = -7-1
ces -7- ^
et l'on a enfin
^ sinxdx 3;; tt tt
I + cos'x 4 4 ~ 2
125. Lorsque la fonction intégrale est discontinue et devient infinie entre les limites de l'intégration, l'intégrale définie n'a plus de sens. Dans ce cas, la fonction intégrée (f{x) passe elle-même par l'infini; car lorsqu'une fonction devient infinie pour une valeur finie de la variable, sa dérivée le devient également. Mais la réciproque n'est pas exacte : la dérivée peut devenir infinie lors même que la fonction demeure finie; l'intégrale ne cesse pas alors d'avoir une signification déterminée.
On a, par exemple.
et cette formule, dont les deux membres sont parfaitement déterminés, reste exacte, lors même que 6 et a étant de signes contraires comprennent entre eux la valeur zéro de a?, pour laquelle la différentielle est infinie. Si l'on considère en effet les deux intégrales
Ja 4x
Je J/^ '• '
i et e' désignant deux nombres positifs, il n'y a pour cbacune d'elles aucune difficulté. Lorsque ces nombres tendent vers zéro, les deux intégrales ont respective-
3 - 3 ment pour limites a' et - èS et leur somme tend évidemment vers
dx
a yj X
ce qui démontre la formule (5).
126. Lorsque la fonction intégrale Y [x] devient infinie entre les limites de l'intégration, l'intégrale définie, somme des accroissements infiniment petits de F (a;), n'a plus de signification déterminée et doit être, à moins de définition nouvelle, absolument bannie des calculs et des raisonnements. Il est donc important de savoir décider dans quels cas une intégrale devient infinie en même temps que sa différentielle. La règle suivante est souvent applicable.
L Cnlc. in t. l5
m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
Soit
dx
l'intégrale considérée. Supposons que pour la valeur x = a., comprise entre a et b, 05 {x) devienne infinie, et que l'on ait
(}/ (a?) restant fini lorsque x est égal à a. Si n est égal ou supérieur à l'unité, les deux intégrales
r'''i^{x)dx r'''\>{x)dx
sont infinies toutes deux, et leur somme est infinie ou indéterminée.
Soient en effet « — s et a -t- e' deux limites assez voisines de « pour que, dans chacune des intégrales
r« ^{x)dx r" <i^{x)dx
la fonction '\> {x) reste finie et toujours de même signe, et soient M et N les valeurs maxima et minima; les intégrales sont évidemment comprises, la première entre
(6 M / ; et N /
et la seconde entre
et dans l'hypothèse adoptée, n étant supérieur ou égal à l'unité, toutes ces limites sont infinies.
Si l'on suppose au contraire « moindre que l'unité, les intégrales (6) et (7) sont finies et leur somme ne présente aucune ambiguïté.
La même conclusion s'applique à fortiori au cas où, n étant moindre que l'unité.
la fonction tj; {x) est nulle pour or — a. Par exemple, l'intégrale
a une valeur finie, parce qu'on peut l'écrire
x^ Ix dx
et comme, quel que soit l'exposant positif k, le produit x'' Ix est nul avec x, si Ton prend k qui est arbitraire compris entre zéro et -i la règle précédente est applicable et montre que l'intégrale est finie. Soit encore
/ sxnx dx;
on peut l'écrire
' .r* Ismxdx
Quelle que soit la valeur positive de ^, le produit x''lûnx devient nul avec a?, et par con.séquent, en donnant à k une valeur moindre que l'unité, on voit que l'intégrale a une valeur finie.
127. Lorsque l'une des limites de l'intégration est infinie, des considérations analogues aux précédentes permettent souvent de décider si l'intégrale a une valeur finie.
La question ne peut être douteuse que si la fonction intégrée ç [x) devient infiniment petite pour une valeur infiniment grande de la variable.
Soit
<i{{x) ayant une valeur déterminée pour une valeur infinie de x. Si l'on suppose qu'à partir d'une valeur x^ de x, tj; {x) reste constamment inférieur à un nombre M, l'intégrale prise entre les limites x^ et qo sera moindre que
et sera par conséquent finie si n est plus grand que l'unité. Lorsque n étant moindre
que l'unité, 4- [oc) a une limite différente de zéro, l'intégrale
<]/ {x)dx
est évidemment infinie.
128, Il peut arriver que l'intégrale
Jf^ 00 (f{x)dx a
soit finie, lors même que la fonction f{oe) devient indéterminée pour une valeur infinie de la variable, mais il faut pour cela que cette fonction change de signe un nombre infini de fois.
Considérons par exemple l'intégrale
s'mx'dx.
Lorsque x devient infini, sina;^ devient indéterminé, et cependant l'aire totale de la courbe, dont l'équation est
j = sinx%
est finie et déterminée, parce qu'elle se compose évidemment d'une somme de termes alternativement positifs et négatifs et de plus en plus petits, représentant des segments dont la hauteur est constante et égale à l'unité, mais dont la base diminue indéfiniment.
Soit encore l'intégrale
'" s'\nx dx
l'exposant n étant compris entre o et 2. Cette intégrale peut s'écrire
Jf'sin.rrfjc r'^^ smx dx Ç^'^ s\nx dx 0 ~^^^x ^^^j.. --^+---'
elle se trouve ainsi changée en une série dont les termes alternativement positifs et négatifs décroissent indéfiniment.
Nous devons supposer n moindre que 2, parce que l'on a
sm.r sma; i
et si n — I était égal ou supérieur à l'unité,
J" sinxdx ...
serait infinie.
129. Lorsque la fonction intégrée devient pour les valeurs infinies de .r infiniment plus petite que toute puissance négative de x d'exposant constant, l'intégrale a, à fortiori, une valeur finie; telles sont par exemple les intégrales
/ e~'dx, I e--'x"dx, l e~' cosx dx.
f^aleur principale d une intégrale.
130. Cauchy a considéré souvent et introduit dans l'énoncé de plusieurs théorèmes des intégrales qui, d'après les règles et les explications précédentes, seraient indéterminées, et auxquelles, à l'aide d'une convention particulière, il donne cependant une signification précise.
C'est ici le lieu de faire connaître cette convention qui, malgré le défaut qu'elle présente de sembler absolument arbitraire, a été très-souvent utile. Soit l'intégrale
cp ( .z- ) dx ,
dont l'élément devient infini pour la valeur a de x comprise entre a et b. Si, de plus, la fonction (f {x) change de signe en devenant infinie, Cauchy nomme valeur principale de l'intégrale la limite de l'expression
J[ o{x)dx+ I (f{x)dx.
lorsque la lettre £, qui a la même valeur dans les deux intégrales, devient, infiniment petite.
Soit par exemple l'intégrale
On a
