Considérons l'intégrale

Jdx ( cC — x' )".

On trouve aisément

C, , , x(à'—x''Y ina? C , ,

et par conséquent

dx ( a} — x- )" = I dx ( (C — x- ]" '

et l'application répétée de cette formule donne

En supposant a— 1,

/*' , , .,, 2.4- are

^^' • Jo 1.3... 2«+I

152. La formule précédente mérite une mention spéciale. C'est en partant d'un résultat qui lui est équivalent, quoique antérieur à l'invention du calcul intégral, que Wallis a été ingénieusement conduit à l'expression du nombre n sous forme de produit infini.

Sa méthode consiste à transformer le second menibre de (/|) en une expression dans laquelle il soit possible d'attribuer à n une valeur fractionnaire, et à admettre alors, sans preuve sulfisante il est vrai, que la formule démontrée pour les valeurs entières quelconques de n est par cela même identique et applicable a» cas même où n est fractionnaire.

La formule (4) peut s'écrire

^ ' * Jo 2/1 + 1 1.3.5. .. (•2«-;r- 1)

Or le second membre est la limite de

lorsque k augmente indéfiniment.

En supprimant en effet les facteurs communs, on réduit le produit à

I (2A- + 3)(2A-4-5). . .(2^- + 2re-+-i) 1.2.3. ..«

mais lorsque k devient infini, on a

•}.k + 3 aA- + 5 2/f -(- 2/H- I

et la formule (A) peut être remplacée par conséquent par le second membre de l'équation (5).

En acceptant ce résultat comme applicable au cas où n n'est pas entier, on a. en

faisani n = - ,

C/ -^^i ' s^- • ■ (^/r-i-a) __! 2 If

Jo ^'^ V ' - -^ - - ,.3...(2/r+.) /3\ /5\ ■ ■ ■ 7^F+T\"'

et comme l'intégrale est égale à j-.

7r 224 2^ 2 A" ■ik -\-i

en supposant, bien entendu, que k augmente indéfiniment.