L'intégrale
I X'" '(i — xf-^ dx, Jo
dont nous aurons à nous occuper dans le cas général, se calcule très-aisément lorsqu'un des nombres m et n est entier.
Remarquons d'abord que cette intégrale est une fonction symétrique de m el de n. Si l'on pose en elTet i — x=y, elle devient
- f r"'(' -r)'" " dr= f r-f'-r)'"" dy-
On peut donc changer les lettres m et n l'une dans l'autre sans altérer le résultat, et si l'un des exposants est entier, il est permis par conséquent de supposer que ce soit celui de a;. ^
Cela posé, on a
Ulxi
[\ — xYx"'
' ( I — X ]" dx.
et par conséquent, m — i et ra étant positifs,
/ x"- ' dxli — X '"' =^ I X"'
Jo « .'o
' dx[\ — x]
Puisque m est supposé entier, l'application répétée de cette formule ramènera
l'intégrale à
et par conséquent
(lo) / X--'
Xi I — xY'+" - dx = ' .
■Ixi
et cette formule ne suppose pas que n soit entier. D'après la symétrie remarquée, on a aussi, lorsque n est entier et quel que soit m,
[n — i)(rt — 2) . . I
»i ( m -+- I ) . .(m + n — 1 ) 157. En posant ^ = sin'çp, l'intégrale (10) devient
I sin"-'(p CCS"- 'yrfo, • o
dont la valeur est par conséquent connue, pourvu que m soit entier,
On a .
C ' , (m— i)(ot — 2). . . I
(13) sin""-' 9 cos-"-' 9 dx --- —, .- -, — ~ 7 •
^ ' Jo n{n + i)...{n + m — i)
L'intégrale
I sin'"a7 cos"^c?x
peut d'ailleurs se calculer directement, quels que soient lès exposants entiers m et n.
On déduit de la formule de réduction démontrée (84)
s\n"'x coi."x dx=^ / sin"'.r cos"-'.r rf.r,
m + fiJo
et l'application répétée de cette formule donne, si n est pair,
' ■ \ sin'".rcos»jrrf.r = , -^-^.-— '^ — r.;rrT\ / sin'"a: </.x-,
J^ {ni-hn){m + n — 2)...{m + 2)Jg
et si n est impair,
/ siir.r cos"j: (/x = , — --r-, t' , --5-J sin'"jccos.r<te.
Mais on a, si m est pair,
, 3 . 5 . . . ( /?i — I ) îT
/•■^ . , , ..3.5. ..(i Jo 2.4.6..
et si m est impair,
Jg 1.3. 5.. .m
Dans les deux cas d'ailleurs
,1^— 2 4-^ • • ('" — Jj
Jsitr'.T
cos.r f/.*'
et l'un trouve par suite, en mettant en évidence la parité ou la non-parité des exposants,
Vx cos"'*'xdx ■■
I sin
Jo
(li) / sin""jroos^"j:rfx = ,
Jo 2.4. .{7.in+9.n)
i5) / sin'"+'.rcos"'xrfjr = —
.3.5...(2m + i)(2m + a)(2OT + 4)-.- (2 m 4- 2»)
(16) / s\n""+' X cos'"-^' X dx — ; -•
Jo 1 . 2 . . . ( m + « H- I ) 2
