Les intégrales

1 cos'" X cos nx dx ,

Jcos"' X s\n nx dx

peuvent d'ailleurs se réduire aisément à l'aide de l'intégration par parties. On a, en

considérant cosa^tir comme la différentielle de sinj^,

/ces-"., cosn^d. = ces"-. cos«. sin. ^ («. - o/cos"-^. sin^r co.n.d.

-{- n j cos-'-'x sinx sinnxdx.

En intégrant de nouveau par parties la seconde intégrale du second membre, où

cos^^'a^sino^rfiT est la différentielle de ^ remplaçant dans la seconde sin-a-

par I — cos'-a;, réduisant les termes semblables et remarquant que le terme intégré disparaît aux deux limites, on trouve

(B) I cos'" ~'x cosnxdx =z / cos°'.r cosrtarf/a:.

Si dans cotte équation on suppose m ^ n, puis successivement m = n — 2, m = n — l\,..., m^^ n — ik, k étant un nombre entier quelconque, on en conclut

ces" *xcosnx(7x = o.

Mais, par une discontinuité remarquable, qui n'est pas rare dans la tliéorie des intégrales définies, cette formule cesserait d'être exacte si le nombre k était négatif.

et l'intégrale

cos""^"*x CCS nx dx

est différente de zéro. On a trouvé (158)

zo%"x cosnxdx =

Si l'on fait dans l'équation (B) m = n-\- -2, m = n -h It,..., m=^n + y.l,, on trouvera

, -. /•■■' . , 7r (w + 2/.-)(« + a/,- — !)...(« -l-/r-l-i) (3.3 / cos"+'*\r cosn^ dx — -j— ^ ' . 5 — -, — •

Cette formule s'applique, ainsi que l'équation (19) dont on l'a déduite, au cas même où n n'est pas entier; mais nous ne pouvons en donner la démonstration dans ce cba pitre.

161. La formule de réduction (B) permet de calculer l'intégrale

J cos"'x cas nxdx

toutes les fois que m est un nombre entier. En l'écrivant en effet sous la forme

/ cos"" X cosnx dx z= 1 cas" ■ x cos nx dx ,

on pourra ramener l'exposant m à la valeur zéro ou à la valeur i, en réduisant l'intégrale à

sm — cos nx dx = 1

n ou a ' >

COS - -

ç.O'&nxdx ■■

\ cosa;

pourvu toutefois que n ne soit pas un nombre entier de même parité que m et moindre que lui, car alors, le dénominateur de l'une des formules de réduction étant nul, la mélbode serait en défaut. On trouve ainsi

j ^ • ini[im — i). . . a .1. sm(2/t + 1) -

j^ cos-'".rcos(2n + 0 ^ = j^,., (2„+ ,).]-[4. (^^ + .[.jTTTRVn'- {^n +-^f (i^TIT^)'

J'*' -, (am 4- 1) a/n(2/n — i). . . a.i .cos«7r 008="'+' .r cosinx dx — y--— .-—- ,- ; — ^^^ — >— --, •