L'intégrale

I cos"'xsm

nx dx

peut aussi se réduire à l'aide de deux intégrations par parties. On a, en considérant cosxdx comme une différentielle,

1 cos".r sin/ix dx = sinar cos"'~'.r sin«:r + (m — i) / cos'"^'a: sin^o: s\rtnx — n I sinx cosnx cos'"~'x dx.

Intégrant par parties la seconde intégrale du second membre, remplaçant dans la première sin^a:; par i — cos'a?, réduisant les termes semblables, et remplaçant

enfin dans les termes intégrés x par les limites o et -> on trouve

5r ît

I cos'"~^xs\anxdx^i — ; I cos'"xsinnxdx -\ ; ^,-

Jo m[m — i)J^ m{m—i)

Si l'on suppose m = n, on en déduit

cos'"^' x sin mx dx -.

163. L'intégration par parties autrement dirigée peut fournir une autre formule de réduction pour l'intégrale

Jcos'":r

%\nnxdx.

On a, en considérant ûnnx dx comme une différentielle exacte,

/, cosnx m r . ,

cos'" X i\ntix dx ■= cos'"j? \ ç.os"'-'x smx cosnxdx, n n J

et, en remplaçant le produit sina; cosnx par smnx cosa; — sin (n — i ) a; et réduisant les termes semblables,

{m + n) I cos" X sin nxdx = — cos^^pcosna: + m j ces"'-' a? sin ( n — \)xdx,

d'où l'on déduit

ir

cos^x sinnx dx^ 1- — / co?,"'-'xs'm[n — i)xdx.

L'application répétée de cette formule donne, en supposant n = m et m entier et positif.

J^^ I / 2' 2' 2"\ cos^a: sin mx dx = — — 2-1 l--s-4--''H • 0 2""+' \ 2 3 OT /

164. La même méthode de réductions successives s'applique à un grand nombre d'intégrales, dont il est bon de citer quelques-unes.