Les intégrales

J/>QO g-mx cos"'+' X dx, o

e-'"'co'i'"'xdx

s'expriment moins simplement. On a (82)

/' , „ j e-"" coi"~'x(ns\nx — mcosx] n{n—\) f ,

e-""cos''xdx= i- ; H ! -' I €"""005"-' xdx, n'-h m' m^+ n' J

par conséquent

I e-"' cos" X dx = -— H ^ : / e-""cos"-^xdx,

et l'application répétée de cette formule ramènera l'intégrale à l'une des deux suivantes :

e~"" cosx dx =

e-"' dx = — •

Jo

On a ainsi n e--' cos=«.r dx = - \- ; ^•■^■•■■i-Ti — ^"j

f m» , m;(w^ + 4) mHm2-l-4)...[/n' + (2« — a)»]l

0 m (/n' + i)(/n^-l- 7). ..[ot' + (2« + 1)"]

On pourrait obtenir le même résultat en remplaçant la puissance de cosa; par la somme qui la représente (I, 385),

2"-'cos'"j; = cos2na:+2«cos(2n-2).rH +1 =»" (an -')■■•(«-+- 0^

2'"cos'-+'x = cos(2n4-i)a:-f-(2/i-+-i)cos(2n-.)xH ^(2ra + i)2/t...(ra4-2)^^^^

et comme on a

Je^"" CCS kx dx = y- • , „ k'-hm'

on retrouvera les formules équivalentes aux précédentes. Si l'on prend pour limites — - et + -5 l'intégrale

fe--cos^xdx peut se déduire aisément de la même formule de réduction. On a

7t TT

/ e-""cos'xax =^ — 1 e-"" cos"-' x dx ;

et comme on trouve directement

n iriTT mn niTZ

■3 ~~^e~ acoshyp. -^

e-°" cosxdx = ■ = ■ >

TT friTT m-K lïlTZ

, ^— ^-— 2sinhyp. — e-"" dx = = ,

e— cos"+'xrfx = ; 1.2.3...(2« + l) ^L~^g ~] .

167. Lorsque dans l'intégrale j e~'"''co&"xdx, on remplace w par m\J-~ 1 , elle devient

I (cosma;cos"x + y/— 1 sinma:cos"z')rfx.

Le coefficient de y^— i étant une fonction impaire qui change de signe sans changer de valeur lorsqu'on y remplace x par —x, elle donne, entre les limites

— ^ et 7» une intégrale nulle; la partie réelle au contraire ne change pas quand

on change a; en —a;, et l'on peut par conséquent remplacer les limites par zéro

et - et doubler le résultat. On peut retrouver ainsi les formules déjà obtenues (160)

et (161).

T-ffiT» 0»<l Mi ■