EMPLOI DES SÉRIES DANS LE CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES
Quelques développements en séries connues.
168. On peut obtenir un grand nombre d'intégrales définies en les transformant en séries dont la somme soit connue.
J"^' Ixdx
On a, pour toute valeur de x moindre que l'unité,
(i) =lx{i-^x + x^ + . ..-i-x" -h. ..).
D'ailleurs (164)
par conséquent (I, 410)
/" Ixdx f l l \ TC'
Jo ' — ^ \ 4 9 / É»
J"^ Ix dx peut s'obtenir de même. On a
(3) r !^^= r ixdx{\-x-\-x'-x'+...)
On a aussi
£ Tzr^. =j^ /xrfx(. + ^' + ^< +...) = -(.+ ^ + ^, +■• .),
c'est-à-dire (1, 414)
C Ixdx v:^
LIVBE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉnNIES. Hd
Cette troisième intégrale pourrait servir à calculer les deux précédentes. Soit, en effet,
En posant x- = z, on aura
4Jo i-^-"^'
et par conséquent
En ajoutant les équations (4) et (5), par conséquent
TV
et
/" Ixdx TT^
Jo ' — * ~ 6 ■ De même, en retranchant (5j de (4),
r dxlx{i — x) r dxlx __
Jo i—x' ~Jg l+X~'
J^^ i Ix V"^ ' dx ^ — ' peut se calculer de la même manière. 0 ' '^
nj^ï^:^=rdxiix)
Jo ' ■^ Jo
On a
Ç'ilxy-'dx ^ rrf.r{/^)"'-'(H-.r-t-.r' +...). Jo ' ■^ «/o
Mais (164)
/ xP z Y"-' dx = ; -—: ■ ;
r'dxiixY'-' , , ,/ I I
m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
c'est-a-dire (I, 410)
il) / ;' ' ^-^7r'"B„,
B„ étant le n"""' nombre de BernouUi.
Si l'on pose a; = e'^, l'intégrale précédente devient
r" e-' dz 25"--' /"" 2^"-' di et par conséquent
= -Tr'-'B».
Si dans cette formule on pose x = sny, on trouve
Ou peut rattacher au résultat précédent l'intégrale
r"" sin mx dx
En développant, en effet, sinmx en série on trouve, à l'aide de la formule précédente et du développement (I, 347),
J^"" sin mx dx i / i i i \
Jf"' itx)''"~' dx On a
c'est-à-dire (164)
r'(ixY"-'dx , . / 1,1 I ^ \
Mais on a (I, 410)
' LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, par conséquent
et
d'où l'on conclut
Jo I+X 2«
Et en posant x^e~^, on en déduit
*' Z'"^' rfz 2'"-' — I
