I. Caic. inl

im DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

développements de -, , ^,--- dont nous avons fait usage deviennent

inexacts lorsque x atteint la limite supérieure des intégrales considérées, qui est l'unité. Mais on doit remarquer que, pour a; = i, ne devient pas infini et que

[IxY' ' ' ' . , ,

— — — est uul. Le dernier élément de l'intégrale sur lequel porte la difficulté est

donc sans influence sur la somme et par conséquent toute difficulté disparait.

175. La valeur de la série qui représente l'intégrale cherchée ne s'aperçoit pas toujours aussi immédiatement. Soit par exemple à calculer

dx Ix

o v' 1 — ^" Posons v'i — •3^^=/- a: = y/i — y*, dx ^ --t^zt- ■: /a: = -/( i —j"), nous aurons

Jo \ji—x^ Jo ^\i — X

par conséquent (147)

/•■ dxlx r. Il 1.3 1.3.5 \

Jo v^T^:^ ~" ^ U^ ^ 2.4' -^ 2:4.6-^ ^ ■ •;■

Pour sommer cette série, remarquons que l'on a

et par conséquent

J^^ dxlx TT r'

On a

et

donc enfin

si l'on pose œ= sinœ, cette formule devient

TT

(17) I /sincprfcp = — - /2.

Cette dernière intégrale pourrait d'ailleurs s'obtenir directement. On a (I, 382)

- / 4 Sin^ - q; r= — I ces 9H C0S2!p + ...|-

En posant - ç? = a;,

(.8) Or on a

donc

/sinx^ — Il — C0S2X cosix — -^ cos6a; — .

là

1 CCS 2 mx dx = o ;

dx := ^ / 2.

Jl sinx dx = — 1 /a 0 «■'0

La formule (18) permet d'obtenir l'intégrale plus générale

cosimx Isinx dx = —

OÙ ffi désigne un nombre entier quelconque, et que l'on démontre immédiatement

en intégrant les deux membres de (18) entre les limites zéro et--» après les avoir multipliés par cos2»za;.