jy-^^cc-œ

On a

x^ = e^''' — i + ^lx +

ot'jlx)' 1 .2

^'{Ix}'

et comme (164)

dx{lx)'' = {~ ly.i .1.3... n,

c'est-à-dire

Si dans cette formule on fait « = m \/—i, fi = n\/ — i, elle devient

J"' cosmlx — cosnlx -h s/—i {sinm Ix — sin«/^) , i -\-m\/—i

et, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires (I, 370), r ' cosOT Ix — cosre Ix , i , \ + m'

(21) / j ax =: - t , )

fainmlx — sin « te ,

(22) I T aa; = arclang/M — arclangrt.

Si dans la seconde de ces formules on fait m = o, on a

" s'inn Ix (Ix

Toutes ces formules pourraient d'ailleurs se démontrer directement sans l'intervention des imaginaires en développant les fonctions placées sous le signe d'intégration en série ordonnée suivant les puissances de x.

Jo {i+x)lx

On a, en remplaçant par son développement,

""'' '~^ ^ = x"-' - x"" - ix'-'- - x'-'-") -f- (.r'-'-t-' - x-'-'^) - . . . , l-h X \ / \

et par conséquent, en ayant égard à la formule (aoj,

I — r-, dx = / / h /

Jo [i + x]lx 1 — a 2 — a

a:(a:+2)(g + 4)...(?. — ii:)(4— a).. — ' (i — a)(i.+.a)(3-a)(3 + a)...

c'est-à-dire (I, 404, 405, 416)

178. La méthode précédente permet évidemment de transformer en logarithme d'un produit l'intégrale plus générale

/•■ x^ — xi^ X xlxii + x")''^-

et l'on trouve

/" x'^- — X'^ , ,a& + na-\-2n

I r-j- dx =1 l-^ ~ „ • . ■ .

Jo x(H-ar")/ar ^ a 4- n (3 -H 2«

Si l'on pose a = i , ^ ^ 2, n = r , il vient

j^ [i-\-x)lx ^ 2 2.4.4 6. .. ""„ 2

'e ''sinr.r , dx.

On a

e-i's\nrx l r' x' r' x' \

mais (155)

r c-^'T-dx-'-^-^---" ■

Jo ' Q"-^'

Donc

C^ e-i's\nrxdx r i fr\'' 1 / r\' r Jo - =-9 3U)-^5y ---eiang-

Si l'on fait «7 = o, on a la formule très-connue (27) / =

Jo ^

JC^ dx ' /(i +^cosa:).

k étant plus petit que l'unité, on a

' ;, , , , , /i^r-n.s.r /,'po.s'jc

cosx