L'équation a « = « — i donne e = i + A 1/ , et si

on prend les logarithmes de part et d'autre , il viendra

du

équation qui sera vraie, si dans le développement de l(i+Ai;^)y

on transporte à la caractéristique A les exposans des puissances

de Ù.U ; on aura par ce moyen

du

A = A tt— ^ A*« + f a'« — ^ A^tf + etc. ( Int. n\ x6 ).

dx

Au lieu de nous arrêter à démontrer ce cas particulier , nous prou^

verons. qu'en général

en changeant a »' , a »' ^ etc. en ù^u , A^u f etc. Il est visible que la question revient à déterminer les ^ coefEciens différentiels

du d^u

•*-; — 9 -7—- ,. . .etCp en fonction des différences successives de u

dx do^

Appendice^ Ç

18 Ch* I. Du Calcul

et que pour cela on a des équations de la forme

dru d^'^'u dT'^^u ^

—-3- A'-^^- etc.

etc.

dans lesquelles les coefKciens difFérentiels ne montent qu'au premier

degré ; on peut donc faire

dl'u

-— A«= A"« + jB'a"+'« + iS''A"-*"*i« + iB'"A"+3|^ + etc.

On obtiendroit facilement la valeur des coefEciens inconnus -B', B'\ B"\ etc. par rélimination successive de

-^^ A"-^» -— rr A«-^% etc.

mais puisque Téquation hypothétique doit avoir lieu quel que soit « , elle subsistera encore lorsqu'on y fera u = «% ce qui donnera

^ = e' et A»« = e'(e*— iV,

quelque valeur qu'ait le nombre çntieri^ et on trouvera par conséquent

A«= ( e*— I )"+ iî'( e*— I )"■*■"+ 5''( ^— I )"+•+ etc. Pour mettre en évidence l'identité des deux membres de cette équation^ il suffit d'observer que A"r= { l(i + e* — i) } " , parce que le développement de 1( 1 4- 1^ — I ), ordonné suivant les puissances de t^ — i , et qui est

e*-. I— ^(«*— I )^+ t(«*— I ) — i (e*— I )H etc. étant élevé à la puissance n , deviendra comparable à la série

( e*— I y Ji^B\ e*~ I )""^; + B\ e*— i )"+* + etc. dont les coeificiens numériques B\ W\ etc. seront par conséquent

déterminés; et si l'on écrit ax^, à la place de J" — 1 > et -- — A" à celle

dx"^

de K" y on aura l'équation — -;A"={l(i+A«)}%po$éeprécédemment.

En faisant pour abréger e* — i = (* , et développant (rt — 3-(i*+ jflt^ — ï*^+ etc.)% suivant les puissances de * , par la méthode du n*. 98 , on obtiendra les valeurs de B'^ 5% etc.

JD E s Différences. 19