L'équation -r-;A'= {l(r + Aa)}" peut être écrite ainsi
du
(iO = <•(■+"'>
en observant d'appliquer, après le développement , Texposant de du à la caractéristique d , et sous cette forme elle s'étend à un nombre quelconque de variables , en sorte que
{du ^ du , du ^ ^ * r w* . N > »
Cette dernière équation se déduit , comme celle du n"*. précédent ; des expressions de a"«, a"^'«, etc. en observant que le développe^ ment de ùfu peut être mis sous cette forme
{du , du , du , 1^
, ^,{du ^ du^ du, l*+l
^tfjc dy d[ }
■+etc.
quel que soit le nombre entier i , pqjurru qu'on change
(Pu tfu d'à </'*^^+'. . . . «
> An ^
869. Si l'on désigne par ^^ , à^^^u ^ à?ju , etc. les différences qui résultent des valeurs que reçoit la fonction u , lorsqu'on n'y fait varier que X 9 par a^ , a*^ 9 ^^ ^ 9 ^tc. les difieiences relatives à la va-* riable y seulement , on aura
Si l'on fait n =: i , il viendra
^^ f 1 / V au ^ ^ ,
d'oh ^ * = 1 + Atf^- e •'^ ;= X + a^m;
20 Ch. !• Du Calcul
dx dy
et comme £^u-=zc ^ — i^onen conclura d'abord
A » = (*i + àji ) ( I + ^yU ) — I : puis suivant le fil de l'analogie qui règne entre les difFérences et les puissances 9 on obtiendra
A-«={ (i + A^)(i + A^«)— I }% en observant de changer dans le développement du second membre
les termes de la forme {^ji)\i^yuy en a «(*)•
Cette dernière équation se démontre à peu près de même que celle du n% 867. Puisqu'on a
dPu d^'u df^'^u
et qu'en faisant , pour abréger , èJ'ji = «' , il vient
il est évident que
A « = •— -— A'*' + C* , ^ .. A'^'A'+ etc.
+ ^'/T37ZîïtA^*^"+«c.
+ etc.
En prenant successivement pour p et pour ^ tous les nombres entiers possibles en y comprenant o , on formeroit des équations en nombre suffisant pour déterminer les coefficiens différentiels par le moyen des différences partielles , et dans lesquelles ces coefficiens ne passeroient pas le premier degré. Sans qu'il soit nécessaire d'effectuer l'élimi« nation , on peut donc affirmer que la valeur de chacun d'eux ne contient que les preniières puissances des différences partielles dtu^ et que par conséquentes développement général de a"^ , ^ui est de la forme
(») On reconnoit sans peme que A u n'est que rabbré7Îatîon dç ^jf(^ A^^« ), et que l'on doit avoir Ai'«(A7^»)=:^?,(A'',2/), ou A «=A u.
b E s Différences. 21
'^ A* j^D' h^-'k + !>'-, — — A'*-it»+ etc.
+ etc.
deviendra nécessairement de celle-^cî
t^u =: jB ù\ tf + £' A ^""'^^w + £'' A "'"'* « + etc.
+ -E A w + Fa tt + JE'> u + etc.
"fetc.
Les coefficiens E ^E' E^^ J?'^ , • . . • etc. étant îndépendàns de ^ ;
doivent demeurer les mêmes^ quelle que soit cette fonction ; mais dans le cas oîi u = e*^, on trouve
A»^ == e^( e*+*— I )% A^^« = e'^C «*— l )'^( e*— I )% ce qui donne
(e^*j)«=£ (e*— i)* +£' (e*— i)''-'(e^— 1) + £'' (e*— i )"-*(<•*— 1)»+ etc. + £'^(e>*i)«-^«+F^(,*— 1)« (,*t)+i?^;(e*— i)«-'(e*— !)•+ etc.
+ etc.
équation qui ne sauroit être identique à moins que le premier membre ne puisse se développer comme le second ^ suivant les puissances de ( <* — i ) et de ( e*-^ i ) ; or c'est ce qui a lieu , car il est visible que
c^est donc dans le développement du deuxième membre de cette dernière équation qu'on trouvera les coefficiens clierchés ; et si Ton y substitue A"a, a^^ , a^z^, au lieu de (e^+*— 1)% («*'— i), («* — 1)1 on retombera sur l'équation
A«i^ := { ( I + A,«) ( I + b.yU) — I y. Kous ne pousserons pas plus loin ces calculs ^ d'après lesquels on voit évidemment que 9 quel que soit le nombre de variables compris dans la fonction u y
A"«={ (l + A,î^)(l + Aj,«) (l + A^ï^)...,— .1 }*.
Le développement de cette formule n'offre aucune difficulté. On connoît la forme générale du produit ( i -^x) ( i +>') ( i + î)* • • ;
12 Ch. l. ^ D u Calcul
en se bornant à trois lettres , par exemple , on a
d'où retranchant runité et élevant le reste ,
^ + ^ + { + ^J^ + ^ î + j' { + ^ J' î , à la puissance n^ on formera l'expression de ù!'Uy en changeant les
termes de la forme Jt^Y en a u.
870. Nous avons supposé dans tout ce qui précède que chacune des variables indépendantes Xy y ^ :(^j etc. ne recevoit que des accroissemens égaux ; mais pour donner aux résultats du Calcul des différences toute la généralité dont ils sont susceptibles ^ il faut concevoir que ces variables éprouvent des changemens successifs quelconques et indépendans les uns des autres. Pour mettre de la symétrie dans les expressions analytiques, nous représenterons les accroîssemens des variables indépendantes comme ceux de la fonction proposée. Dans le cas oîi u ne contiendra que la variable x , nous établirons que les valeurs
«^i» «ai «^o «»>
correspondent \ ces quantités:
qui désignent les divers états par lesquels passe x^ tt nous ferons x^ — ;r=s:Ax, x^ — x^z=iàx^y x^ — ^. =Ajr.,etc.
Aa:,— Ax = A*x , Aat.— Ax,=s A*a:„ etc.
-A'jTj-— A^X = A^JT , etc.
etc.
nous aurons par conséquent
x,^=zx+ùx f x^:=x + ^/^x + A^x , Xj=Jc4-3ÀA:+3A*jc+A'jr, etc.
et pour déterminer les expressions de ùi^u^^ u^'y etc. il £piudra chercher ce que devient la fonction proposée u , lorsqu'on y met successivement x^j x^y x^j etc. au lieu de ;i: , en sorte que si Ton écrit u:^{(x)y il viendra
j/^=f(jrj=f [jt:+-AAr+-^i -^A*;^+ -^ ^-^ ^a'x+ etc.].
DES Différences. 23
Si Ton substitue à u^ la série du n\ 860 , on obtiendra Téquation n n(n — i) ^ nin-^iMn — 1) , .
= f[:t: + -.AA;+-i ^A^a: + -^ i^^ iù?x + etC.l,
qui doit se vérifier indépendamment d'aucune valeur particulière derr.
^Si donc les deux membres étoient développés suivant les puissances
de /z ^ on pourroit égaler entr'eux les coefficiens d'une même puis«*
sance » et les équations qu'on obtiendroit par ce moyen serviroient
à déterminer les différences de la fonction u par celles de la variable x.
Ce procédé est analogue à celui du n% 34^ et s étend de même aux
fonctions d'un nombre quelconque de variables; dans le cas o\x
Ton auroit u=ii(^x^ y , [) , il viendroît
n n(n — i) n(/2— i)(/z — i) , . ^ u+ ^Au + -— ^ ^•u + -^^ — A^tt + etc. =
(Tx + -AJC+ ~^^ i-A»^: + -^ ^ ^ A^jc + etc. ,
n n(n — i) . n(n — i){n — 2) , y + -AjK + — -^y + -^ — 'A^ + etc.,
Î + -AÎ+ -.i^ ^A*t+ -^^ ^-^ ^A^î+etc.].
En comparant les termes affectés d'une même puissance de n dans le
développement de cette équation, on s'en procurera un nombre
suffisant de nouvelles pour déterminer az^, a*//, a^;*, etc.
87 1 . Les calculs qu'entraîne cette méthode peuvent la rendre encore
f^rt laborieuse 9 et souvent on préférera déduire les unes des
autres les différences successives , ce qui , lorsque u ne dépend que
de a: , s'effectue ainsi: on passe d'abord de A// à a/^, , en écrivant x^ et
Aji^, , ou , ce qui est la même chose , ;tr+ Ax et Ar^ a*;i; , au lieu de x
et de A a; , et on a ù.*u = a u^ — a z^ ; on obtient ensuite ù.^u^ , en
mettant ;c, , Ajc, , A*;t:, , ou jkt+Ax, Aa:+A';c, A*A: + A^Ar, à la
place de jc, i^x , A»jr , ce qui donne a^^=a*«j — ù^u. Sans pousser plus loin 9 oix voit que pour passer d'une différence à celle qui vient après y il faut regarder en même tems comme variables x et ses différences ; et que par conséquent à chaque différeniiation le nombre des variables s'accroît de l'unité.
Les dîfFérences de u se développeront aussi par la série de Taylor , généralisée pour un nombre quelconque de variables. En regardant Au comme une fonction de ^ et Ax , on aura
JAu dAu
^*U=: ; Ax H ; A^X
dx • dA X
Ç d^Au d^Au i^Au >
C a:r* dxdAx dAx^ j
+ etc.
du Ax d^'u Ax*
et puisque az/= + — -- j- etc. on aura
dx \ dx^ I,2
^u du
dx^ dx
.|fi^,.+ etc.}
+ etc. N^
en ordonnant par rapport aux puissances des différences Ax , A^x , etc. Cet exemple suffit pour montrer comment il faut s*y prendre dans tous les cas , quel que soit le nombre de variables indépen* dantes ^ puisqu'il est aisé de faire , par rapport à chacune d'elles , ce qu'on a fait ci- dessus à l'égard àt Xy et que d'ailleurs la mé« thode que nous indiquons ici revient au fond à celle qu'on em-' ployé pour obtenir les différentielles successives ^ lorsqu'on ne prend pour constante aucune des différentielles des variables in<dépendantes. Nous nous bornerons à observer que si dans l'expression de A^'u y on écrit en première ligne les termes qui contiennent la puissance la moins élevée de chacune des différences des variable^ indépendantes , l'ensemble de ces termes deviendra identique avec la différentielle dJ'u , lorsqu'on y changera ax ^ A^x , etc. Ay , A*y , etc. en dx^d^x ^ etc, dy^dJ'y^ etc. et que chacun d'eux sera de la forme
iMA^^AVAV a^^a^j^'aV". • , , aç^a^î^'aY', etc.
M désignant une fonction des Variables x ^ y ^ î^^ etc. les exposans satisfaisant à l'équation
D JE s DiFFÈRENC ES. IJ
871. L application du théorème de Taylor , fournit une expression très-élégante du développement de a"// , lorsque u ne renferme que la seule variable x. Pour y parvenir soit
x^ — ;t-=A, , a:.— ;i;=Aj^ , x^ — xz:=zh^ , ^^— ^=A^ ;
nou^ obtiendrons
du h, ^a h\ Sa A\ . ^
' ^ dx I ^ dx^ x.-L dx^ 1.1.3 ^
rf« A. J*// A\ ^« A\
^:t I </jt:* i.i dx^ 1.1.3
i/« A, ^*/z A% ^tf A%
dx I rfjf* I.l ^JT^ I.X*3
tfjc I dx^ i.i iZA:^ 1.2.3
et substituant ces valeurs dans la formule
A»«= //^ «^^^ + \ ^ -^ «^.,— ^ , ,\ ^ ^r. -î + etc.
nous aurons
+ etc.
Le coefficient de u est identiquement nul ; car ce n'est que le développement de (1— i)"; de plus, si Ton changeoit en exposans les
indices de la lettre h , les séries qui multiplient -— , -; — , -7-= , etc#
^ dx dx^ dx^
deviendroient respectivement égales aux développemens de (A-^i)*^
(A* — 0% {h? — 1)% etc. privés de leur dernier terme , qui est =f=i ,
suivant que n est impair ou pair ; on peut donc remplacer ces
séries par les quantités
( A— I )«± I , (A»— I y=fc'i , ( A'— I )"± I , etc.
Appendice, P
i6 C H. l. D u Calcul
en observant, lorsqu'on développera , de convertir en indices toits les exposans n , n — i , n — z , et de ne laisser à la lettre h que les exposans , i ^ 2 » 3 > etc. dont elle t^X affectée dans les parenthèses ci-dessus : c'est, ainsi que Prony a présenté la formule suivante ,
I du
I dx
