dx I d^u
[(A^— i)"±i]+etc.
CaUuf der^di^- ^73* ^^^ ^^^ principaux usages du Calcul des différences a pour
rences à Tinterpo- objet V interpolation des suites ; cette opération consiste à insérer entre
ation es suites, j^^ termes d'une suite donnée de nouveaux termes assujettis à la même
loi que les premiers. Soient u^^u^^ z/j , etc. les valeurs particulières que reçoit une fonction quelconque u , dépendante de la variable x , lorsqu'on y change successivement x en at+A , ;i:+aA, x+'^h^ etc. on aura ces deux suites correspondantes
AT + A, x+xh, ^ + i ^ 9 etc.
etc.
mais outre les valeurs ci- dessus y la fonction u en a une infinité d'autres résultantes des valeurs de x , intermédiaires entre celles qui répondent à la suite proposée ; déterminer ces nouvelles valeurs de u sans connoître l'expression du terme général de la suite, ou , la manière dont la fonction u est composée en a: ^ et seulement par le secours des valeurs numériques des quantités k , u^ ^ u^^ r/, , etc. c'est-là ce qu'on appelle interpoler la suite « , «, , u^^ u^y etc.
La question que nous nous proposons ici revient donc à trouver la valeur de u lorsque x se change en x+h\ h' désignant une quantité quelconque , en n'employant dans le résultat que les différences de la fonction u , calculées dans l'hypothèse où x varie de la quantité A ; or oi?a par le n^ 867 y
eu
dx d*oii il suit
j A^= eu + A'ùi^'u + A"é^^u + A'^^A^^u + etc.
-T^ A' — TT ( ^''^ + A'A^'u + A'A^^'u + etc. ).
dx^ A* ^
DES Différences. 27
Si on droit successivement de cette éqaation les valeurs de
du d^u '{Pu . ^ . '
T'y T^T9 -m c^c. pour les substituer dans la série dx ax* dx^
du^ h' d^u A" d^H h!^
dx I dx^ i.l ^Jc^ 1.1.3
qui exprime ce que devient u lorsque x devient a:+A', on auroit un résultat de la forme
B\ B\ B\ , B"\ , B''\ , etc. étant ainsi que A\ A\tic. des coefficiens numériques indépendans de A ; et désignant par ù^'u l'accroissement que reçoit la fonction u dans le passage de Jtr à jc+A', il viendroit
i + A'a=i +Aa+ (b'— + B''— ^ A*« 4- etc.
> Cette équation devant avoir lieu quel que soit u , subsistera encore
dans le cas oîi u=^c'^ et se changera alors en
eA'=i + ^(.*-i ) +(5'y + 5^'^)(.A-i)-+ etc.
équation dont on ramène , par le développement , le premier membre à la même forme que le second , en observant que
^*'= [ î + ( e* — I )] ^ ; et comme en remettant dans le second az^ , A*/z, etc. à la place des quantités £*— i , (e* — i)* , etc. on retombe sur le développement de i+a'z^, on doit en conclure que
pourvu qu'on se rappelle de transporter à la caractéristique a ^ dans le second membre > les exposans des puissances de A//.
Ce résultat , aussi simple qu'élégant , a été présenté par Lagrange comme une conséquence de l'analogie que les différences ont avec les
puissances. En effet, il suit de l'équation ê^^ p=i + Ai*, ( n^ 864),
Ch. I. Du Calcul
que c =(i + A«)^, ce qui donne sur le champ,
élh'
i + a'«==(i + a«)*, puisque v''* =i+a'//.
En développant le second membre de réquatioit que nous venons
d'obtenir , ainsi qu'il a été prescrit , on trouvera
A' AYA'— A) AYA'-.A)(A'— lA) ,
A'tt = — A«+ -A — —L^^u+-^ — ; — 9 — ; ^A^tf + etc.
A A.2Â A.iA.jA
Si l'on fait A = i , on aura
série qui n'est autre que. celle du n^ 86o, dans laquelle on auroit mis h! à la place de. n.
874, Venons maintenant à des applications. Si Ton désigne par «' ce que devient u , lorsque x se change en x + A', on aura «'=« + a'« , et il est visible que pour tirer parti de l'expression de ù^u , il faut , ou qu'elle se termine ^ ou du moins qu'elle forme une série convergente. Le premier cas a lieu toutes les fois que la suite des différences Atf, A*i^, ù^Uy etc. se termine elle-même^ c'est-à-dire, lorsque Ton parvient à un ordre dont les différences sont constantes, ce qui rend huiles celles du suivant.
Soit d'abord la suite
3, 7. i9> 39> 67, etc. correspondante aux indices
o , i , 1 , 3 , 4 , etc.
on a pour ce cas ,
«=3 , ;i:==o, A=i, Atf=4, A*«=8, A^//=r:o , ( n\ 860 ) ; l'expression de a'm se réduit à ses deux premiers termes , et Ton obtient par son moyen à!u = 4 A^+ 4 A' ( h! — » i ) = 4 A'* :
ainsi pour l'indice h\ il viendra «^'=3 +4A'*. En prenant A'= \ , par exemple , on trouvera que le terme correspondant à cet indice est i8. Proposons-nous encore la suite
I , 4 » 2. , 3 , 9 , 16 , etc. en prenant les indices comme à l'ordinaire , savoir :
5 > etc.
DES Différences. 29
et formant les différences , on trouvera
A=i , iz=i, A?^=3 , A*//=— 5 , A^i/=8, A^w= — 6, A^«=so,
d où on tirera
en réduisant cette expression ^ et Toi donnant par rapport aux puis* sances de h\ on aura
11+116A'— iiiA''+54A'5— 3*'^
Il est important de remarquer que l'expression de u!^ dans cet exemple et dans le précédent , étant rigpureuse , et convenant à toutes les valeurs de h\ offre le terme général de la suite proposée , puisqu'elle en donne tous les termes particuliers en y faisant successivement A'= G , A'= I , A'= 1 , etc. et quoique nous n'ayons rapporté que les premiers termes de cette suite, on peut la continuer aussi loin qu'on voudra , suivant la loi observée dans ces termes. U en sera toujours de même quand la série proposée aura des différences constantes , parce qu'elle ne peut résulter alors que des valeurs successives d'une fonction algébrique rationnelle et entière.
875. Les cas auxquels on applique le plus fréquemment la formule
h' h\ h'— h ) ^ A'(A'— A) (A'— lA) ,
A'« = -A« + \ . '^-+ . ,;\. r-^A^/zetc.
sont ceux dans lesquels les différences A//, a*», ù^u y etc. vont en décroissant , parce qu'alors elle esf convergente. En voici un exemple tiré des tables de logarithmes. Je suppose qu'on veuille obtenir le logarithme ordinaire de 3,1415916536 , par le moyen d'une table contenant les logarithmes depuis 1 jusqu'à 1000, avec dix décimales; on regardera alors les logarithmes contenus dans la table comme des valeurs particulières de la fonction u , les nombres comme les indices auxquels répondent ces valeurs , et on formera le tableau suivant
3^ Ch. h , D u Calcul
dont la première colonne renferme les logarithmes de
3>i4, 3>M* 3>i6, .3,17. 3>i8 ; la seconde , leurs différences premières ; la troisième , leurs difFé* renées secondes; la quatrième^ leurs différences troisièmes, £t la cinquième leurs différences quatrièmes qui se réduisent à trois unités du dernier ordre : on aura par ce moyen
A^tt= + 0,0000000177, A^?/= —0,0000000003 ;
et comme A=o,oi , A'= 0,00 15916 5 36,on obtiendra
h'—ih h' ^ ,0 A— 3* A',
-^ =j^-T=~o,6i3j78^i, -:^ = ^-i = -^>7ioi8366:
avec ces valeurs il sera très-facile de mettre en nombres la formule
/i A.iA h.xh.'ih A.iA.3A.4A
qui donnera «^'=0,4971498716.
11 existe des moyens plus faciles pour obtenir les logarithmes des nombres exprimés par beaucoup de chiffres , mais le" précédent est très-propre à servir d*exemple pour la méthode d'interpolation. On doit reconnoître déjà que cette méthode s'étend à beaucoup d'autres cas , elle est sur-tout d'un très-grand usage dans les calculs astronomiques.
876. Si on développe l'expression générale de //, suivant les puissances de A, le résultat sera de la forme
u'=zu + ^k'+ Bh''+ Ck''+ etc.
et le dernier exposant» de A', marquera l'ordre de la plus haute différence à laquelle on ait eu égard. U est visible qu'en considérant A' comme une abscisse, et u' comme l'ordonnée correspondante, l'équation ci-dessus appartiendra à une courbe du genre parabolique; et puisqu'on doit avoir successivement
uf= Uj u'= u, , tt'= u^ , u'= u^ , etc. lorsqu'on fait A' = o , A'= A , A'= 1 A , A'= 3 A , etc. il s'ensuit que cette courbe doit passer par autant de points donnés ,
DES Différences. ii
qii*on a de valeurs particulières de u. La méthode d'interpolation que nous venons d'exposer revient donc à faire passer par un nombre déterminé de points donnés , une courbe parabolique sur laquelle on suppose ensuite que sont places les points qui correspondent aux valeurs intermédiaires que Ton cherche. C'est Newton qui le premier a résolu cette question ^ et voici comment :
Pour une valeur quelconque x' de la variable x , il fait
u! =ict + ^x'+yx'^+5'x^-\'tic.
ce qui donne pour la suite de valeurs particulières x y x,, x^^x^, etc. ces éqxiations
u —et + fix + yx^ + ^x^ + etc.
u,:=zcLf iix, + yx\ + J'x\ + etc.
7i^= A + fix^+ yx\+ i'x^ + etc.
«î = * + i3 ^î + yx^^ + S'x\ + ^tc. etc.
dont le nombre doit être égal à celui des coefficiens indéterminés a y fi, y y etc. En retranchant successivement la première de la seconde , celle-ci de la troisième ^ etc. on parvient à des résultats respectivement divisibles par x^ — at, x^ — r„ ^^ — x^, etc. et d'où Ton tire
I^J—L=,^ + >(a;,+ AT ) + J^(x%+ x,x + ^* ) + etc.
iÎLZÎi. = i3 + 3.(r,+ X, ) + cr(x%+ ^,^,4- jr* J + etc. x^—x,
am^^f^ + >(^î+^J + <J'(*S+ x^x.Jt x\) + etc;
etc. ♦
posant pour abréger = V , == V^ , etc. on aura
X ^ 'X ft"""*^ï *
les équations
. i^. =i8 + >K + AT.) + «r(jr% + ^.Ar. + *•.)+ etc.'
£^.=i8 + 5' ( AT, + X.) + J' ( *% + ^j*a + *•») + etc. etc.
retranchant encore UdtU\y V^ de 27. et ainsi de suite , et désignant
3* C H, L D 1/ Calcul
par t/ , f/ , , etc. les quantités , , etc. on trouvera
i^\= T' + <^ ( ^î+ ^.+ *, ) + etc.
d'oh on tirera , U\ — 27'=^ /(a:, — x) + etc.
Maintenant si Ton fait — '• = U'\ on aura Z7'^= iJ^ + etc.
Xj— a;
et si pour fixer les idées on ne suppose que quatre termes à Tex^
pression de i/ , l'opération sera terminée à l'équation ci-dessus ;
prenant la valeur qu'elle donne pour J^ et remontant à celles de >| j8 , «^
par le moyen des expressions de U\ C^ et i/ ^ il viendra
y^V'^V\^,^^x,^x^ f^^V^U\x,^x)^V\x,x,^x,x^x^x) CL= u — Ux+ U'x.x— V'x^x^x.
Substituant ces valeurs dans l'expression de li^ on aura
+ C/"[x''— ( ^. + ^, H- ^ );^" + ( x^x, + x^x + x,x)x'^xx,x;\ J •
11 est facile de voir que les coefficiens de U^ U' et V'\ sont décompo-
sables en facteurs simples , et que l'on peut mettre u sous cette forme
liz^u^ U{^:^^x)^rV\x^xXx'^x,)^ V\x'—x){xf-x,) {x'—x^).
En poursuivant d'après cette méthode y on obtiendroit une formule
analogue à la précédente; et quelque fût le nombre des valeurs pri-^
mordiales x^x^^x^ de l'abscisse , on auroit en général
«'=«+ t/(y— :r) + V {y!^x){^x'—x:) + £/ V— ^)(^'— ^.)(Ar'-:r J
+ V'\x'-x){x'^x:){x'^x,){^x'-x-,)^ etc.
en faisant
->. . t . . =£/ , — =c/, , — 1/^ , —=6/,, etc.
ZJHZ^^V" , ^ ^ \ ^V\, etc.
tL}—l^—U'\ etc xir^x
Quand
DES Différences. 33
Quand les ordonnées u ^ u^ ^ u^^u^ ^ etc. sont équidistantes , on a x^ — xz=zx^ — x^=x^ — x^ , etc. d'où il suit évidemment x^=x+h , x^=zx+ lA , x^=^x+ 3A , etc.
£^' =-^A»«, i7'.=-i-AX, I7'.= -4-^X» etc. lA» ^ ' zA* ' * • lA» • '
etc.
faisant a:'=;i:+A', il en résultera
x' — x=k', x' — Ar,=rA'— A, x^ — ;r.=A' — \h^x' — X'^'=^h' — 3A,etc» et Ton voit ainsi que Texpression précédente de u\ qui devient alors
« = zi+-— Att+ ^-1 — --L.ù^^u + ^ • ^/ ^ iA^ + etc.
/i A.2A h^xh^ik
rentre dans celle que nous avons trouvée , n**. 873 , par une voie bien différente,
877. tagrange a présenté l'expression de u' sous une forme nouvelle, en observant que puisque les équations
«=6t4.j8A;+7:^r' + i'x^ + etc, »,=* + i3jr,+ >;v\+ <rjf\+etc.
«>= * + iô ^a+ 7 ^\+ J'-^\+ etc.
etc.
sont du premier degré seulement , par rapport à chacune des quantités a, iS , 7 , etc. u^ u^yU^y etc. et que u' doit être exprimé en x\ de manière qu'en y faisant successivement x'=Xy x'=.x^ , x*:=^x^ , etc. il vienne «'=« , vlznu^ , «'=/^^ , etc. on peut écrire
V= JSTi^ -}- -Sr,«,+ ^"^«^4- etc.
pourvu que X ^X^yX^^ etc. soient des fonctions telles que par la supposition de x'rznx ^ on ait en même tems
-Sr=i , X{=iOy -5r^=o, etc. que par celle de x'=lx^ , on ait
X=iO y -5r^=T y -y^=o , etc.
que par celle de x'z=^x^ , on ait
jr=o, X,=o, X^-zzzXy etc.
Àppenàiu. E
34 Cu. ï. Du Calcul
et ainsi de suite , conditions qui seront remplies si Ton prend
etc»
La loi qu'il faut observer dans la formation de ces quantités est on ne peut pas plus simple ; leur numérateur contient , ainsi que leur dénominateur , autant de facteurs qu'il y a de quantités ^, ^, , x^ , etc. moins une ; et si Ton y fait les hypothèses indiquées ci-dessus , non-seulement on- se convaincra qu elles satbfont à la question proposée 9 mais on verra de plus comment il a été possible de prévoir qu'elles y satisferoient. On a donc cette nouvelle formule d'interpolation
{x'—x,){x'—x,){x'^x^). .. jx'—x) (^x'^x,)(^x'—x^). . .
(x' — X )(x' — x.^Cx^'^x.) . • .
+ ) ^7 V \ u,+ etc.
très-commode dans la pratique , parce qu'on en peut calculer chaque terme par le moyen des logarithmes. II ne seroit pas difficile de la ramener à celle du n"*. précédent , et même à celle du n"". 873 ; c'est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas.
878. D'après ce qu'on a vu dans le n^ 876^ on tonclufa sans doute qu'il existe pour l'interpolation une infinité de formules différentes, dont chacune doit être propre à un genre particulier de suites. En effet , celles que nous avons obtenues jusqu'ici ne conviennent qu'aux suites dont le terme général est rigoureusement de
la forme
et + j8^ + yx^+ J'x^^ etc.
ou peut y être ramené par le développement, lorsque x est assez petit. Dans ce dernier cas on ne parvient qu'à un résultat approché, et seu-
DES Différences. 35
lement lorsque les valeurs données et celle que Ton cherche sont renfermées dans un très-petit espace ; c'est ce que Tapplication géométrique rendra sensible. En déterminant les coefficiens <* , i8 , 7 , cT , etc; comme dans le n**. cité , on forme , ainsi qu'il a déjà été dit , l'équation de la courbe parabolique passant par les points dont les abscisses sont X f x^^Xj,^ et les ordonnées tc^u^yU^^ etc. Si les abscisses sont très-inégales , la courbe obtenue pourra avpir la forme FGH , fig. i , FIG. i. tandis que le terme général de la suite proposée donneroit une courbe de 4a forme CDE ^ qui n'auroit de commun avec la première que les points donnés M^ M^y M^^ M^ ,etc. et. qui en difFéreroit d'ailleurs beaucoup dans l'intervalle de l'un de ces points au suivant , ainsi que le montre la figure. Si au contraire les points donnés sont fort resserrée, et quentr'eux la parabole calculée n'ait aucune inflexion, elle pourra se confondre , au moins dans un espace peu étendu y avec la courbe qui résulteroit du terme général de la série proposée. Il suit de ce qui précède qu'en variant la forme de l'équation de la courbe par laquelle on suppose que les termes de la suite proposée sont liés avec leurs indices , on en pourra trouver une qui approche plus que toutes les autres de la courbe donnée par le terme gén'^^-al. Sans sortir du genre parabolique , on peut à l'équation
«'= « + /3 jc' + 0^^'*+ J^^'^+ etc.
substituer l'une des suivantes
u'=Ax' + ^x'^+ yx'^+ J'x''+ etc.
a'=etx'*+ /3 x^^+ yx'^+ J'x'*+ etc.
dont les coefficiens (^^ fi^ y^ S'y etc. se détermineroîent aussi par les équations particulières qu'on formeroit , en changeant succeflivement u' et x\ en a et a; , en «^ et x^ , etc. mais on abrégera beaucoup le calcul » en donnant à ces expressions les formes
i/^.Jx' +Bx' {x^''^x')+Cx' (x'^-^x^x'^—x^)
+ DxXx'^-x^Xx'^^x\Xx'*^x\)+ etc. }
u'—Ax'^ + Bx''{x'*^x^) + Cx'\x'*—x') (x'^—x\)
+ Dx'\x''^x^){x'^—x\X^'''-x\) + etc. } , lesquelles étant développées rentrent évidemment dans celles qu on leur a supposées d'abord» Nous ne nous occuperons ici que de la
$6 C H. l. Du Calcul
première de ces expressions, qui donne
+ Dx^ix'^—x%x\—x*,Xx\-^x\) J etc.
lorsqu'on y fait les substitutions indiquées plus haut. On tire
d'abord de ces équations
+ etc.
retranchant ensuite la première de celles-ci de chacune des autres , et divisant les résultats par la quantité qui multiplie ^ , on obtient
u,x — UX,
xx,{x\—x')
