U^X UX
etc.
En représentant par U, j U^^ 17^^ etc. les premiers membres <îe ces dernières équations , et en opérant sur elles comme sur les précédentes, on trouvera
etc.
V E s Différences. 37
Les calculs ci-dessus nous donnent déjà la valeur des trois premiers coefHciens A ^ B y C , et il est facile de les pousser jusqu'à tel coefficient qu'on voudra ; il ne nous reste donc plus qu'à mettre sous une forme symétrique les expressions que nous avons obtenues^ savoir:
^ u.x — ux,
xx,{x\^x^) * x\^x\ •
La seconde peut être écrite ainsi :
B = — 7—L rr +
En remettant pour V^ et V^ les quantités que ces lettres représentent 9 il viendra
u^x — ux^ u^x — ux^
expression qui se décompose comme il suit :
xj,x\—x') {x\—x\) x{x\—x'){x\—x\) u, u
xXx\—x^)ix\—^,) x{x\—x^){x\^x\)
si l'on réduit entr'eux le second et le quatrième terme, et qu'on range ensuite dans l'ordre des indices , tous les termes et chacun de leurs diviseurs , on trouvera
x{x^^x\){x^—x\) x,{x\^x-){x\^x\) x,{x\—x^){x\^x\y On obtiendroit semblablement
x(;c*— *'.) ix'—x\) (x'—x\) '. x,(x\—x') {x\^x\) (a:*.— a:*,)|
^.(** —*•) ix\~x\) {X\—X^'^X:^{X\^X*){X*'P.X\)(X':^—X\-)
Il sera souvent plus commode de déterminer successivement les
38 C H. l. Du Calcul
coefficiens les uns par les autres , et dans ce cas on dédttira des prc^^ mières équations ces valeurs très-simples :
x,(x\-x'){x\^x\) ix\-'X\)
Ce que nous venons de faire sur la première des deux formules
d'interpolation que nous avons proposées au bas de la page 3 5 , se pratiqueront avec le même succès sur la seconde ; et Ton remarquera sans peine que ce procédé seroit très^commode pour déter« miner les coefficiens A ^ S , C y etc. dans la formule u'^A^^B{x'-^x)+C{x'^x){x'—x,)'\'D{x'^x)(x'—x,) {x'—x,)^ etc. et parvenir ainsi d'une manière immédiate au premier résultat du
879. Nous rapporterons ici deux formules très-élégantes données
par Stirling , d'après Nevton , et qui se vérifient comme celles du n'. précédent.
Si, aux indices i
etc. -^4, -3. -*' '^\\ ^"^ .+ ' +^» +3,+4,etc,
répond cette suite de quantités données , ^ic.u^/ ^, «-a «-1 u u, u, u^ 7/4, etc.
et qu'on en prenne les àifférençes successives comme le montré le
tableau ci-dessous,
A.«^^4 Aï£, t.U^ AttLt ^^ ^^i ^^» ^^\
AXa ^"2/., A^Z^Jt A*«^., A^U ù^a, AX
AV4 A^^-î ^'''-« ^^^"^ ^^ ^^^^
A^«^^4 A^«^, t^U^ A^tfJ, A^«
AV4 A^Z^., A^W^, àu^^
on aura , pour un indice quelconque » désigné par h', k'=«4 — (Aa+Aa.)H i — , — ^(A'tf . + a'«,)
+ etc.
+ L^U, + — ^^ ^ A^tf .+ — ^^ ^^^^ -r^ A^U.
+ — ^ ^-^ y^ o ^^aV4+ etc.
En faisant pour abréger
Au + A «,= jB y aV/,= *
A'i^5 + A7tf.^= E , A*l/^=: ^
etc.
on aura
i«iM*W
Cest sous cette forme que Stirling a présenté le résultat précédent ^ qui sert, comme on voit, à interpoler entre un nombre impair de quantités équidistantes , en plaçant Torigine des indices à la quantité moyenne.
880. Lorsque le nombre des quantités données est pair, on place Poriglne des indices au milieu de Tintervalle qui sépare les deux quantités moyennes comme ci-dessous ,
etc.~7, —55 — 3> -^i, o, +1, +3, +5, +7, etc. etc. tf 7 ««5 «., u^, u, »j u^ Uj , etc.
40 Cu. 1. Du Calcul
et prenant les différencTes successives , comme plus haut ^ on forme le tableau suivant
A «y à u f^ A u^ A U^{ à u, AU^ Au^
A'^U^y A*//5 A*Z/5 A*U, A*i/, AVj
A^//y A^tt 5
désignant toujours par k^ l'indice auquel répond la valeur générale i/y on aura
■+ a.4.6.8.io.ii ;^^ "-^+^ *-')+'*'•
-I AU^^-i T^^ ^^î+ ' ' y-^ ^ ^^$
4 — it L^ ^^ ^ A'a .+ etc.
Pour présenter cette formule comme Ta fait Stirling , il faut poser
U^ + «-,=-^, A «„,=:: tf
A''u^, + A^U^=By A^U^=b
et il viendra
tt= '- —
5C+ cA' A'»— I A'*-.9
+ etc.
2?.£ S Différences. 41
Il faut observer que dans le cas actuel la différence entre deux indices consécutifs des quantités données est 2 9 en sorte que la distance de v! ^ u^^ prise y en comptant chaque intervalle pour
l'unité 9 est exprimée par . •
881. La formule du n*. précéd. se déduit de celle du n**. 879 , en prenant les différences de chaque membre par rapport à h! ; pour cela on supposera que K se change en A^ f 1 9 et du résultat de cette substitution on retranchera l'expression de v! citée. Il est évident que les coefficient numériques varieront seuls dans cette opération ^ puisque les quantités u et leurs différences sont indépendantes de h!j tout se réduit donc à former les difiérences de ces coefficiens. Pour montrer comment on y parvient, nous prendrons un coefficient de chacune des deux suites partielles qui composent la valeur de u\^
Dans la première , ^ '-^ -î^, qui équivaut à
devient - ^ —^ — — ; retranchant de cette
valeur la précédente , on trouvera
Pans la seconde suite Iç coefficient
K^{K-— I) (//'— 4) ^ (y— x)(^^i )U.y{h!Ar x){h!^ 2) ' I.2.3.4.5.6 if2.3«4«5.6
se change en
i.2.3,4.5.6 et la différence de cette valeur à la précédente est
I (Â'— 1 )*'(A' + 1 )(A' + x){ih' + 1 )
4pptndM, F
4i C H. !• D V Calcul
En opérant de même sur les autres coefEcIens ^ on trouvera
4 A j/, + etc.
Cette expression n'est que celle d'une di£Férence première , mais on passera à l'expression de v! en diminuant de l'unité les exposans dés caractéristiques A ^ puisque cela revient à prendre les différences premières pour des quantités primitives , les . différences secondes pour des différences premièries , et ainsi de suite ; et^comme la formule d'où nous sommes partis suppose que les valeurs données soient en nombre impair, leurs différertces , prises maintenant pour les valeurs données ^ sont nécessairement en nombre pair, ainsi qu'on peut le voir dans la seconde ligne du tableau du n^ 879 ; mais afin de placer , comme dans le n% 880 , Torigine des indices entre les deux quantités moyennes , qui sont désignées ici par u^^^ et 2^ , et faire que la différence de ces indices soit
A'— I de deux unités , il faut écrire , au lieu de h\ et remplacer
ensuite
....«^4 ^^\ «-â ^-.i «^ «I »* «3,.... par
....fCy «-S ^-.\ «^-T «c ^a '^s 'f?»**'*
En effectuant ces transformations avec soin^ on retombera sur Texpression de j^ relative au cas où le nombre des quantités données est pair.
Il seroit possible de déduire aussi de l'expression
tt'j=//+ h + etc. la formule du n"*. 879 , par des
dx \ dx^ Llk
considérations analogues à celles du n**. 873 , mais nous revien* drons dans la suite sur cet objet par une méthode plus générale et plus simple.
DES Différences. 4J
882, l^orsque les différences successives des quantités données ne forment pas une suite convergente , il faut changer la forme que Ton suppose au développement de 1/. Prony ayant reconnu que
l'expression
u'=:A *•' + 5 i3*' + Cy* + etc.
étoit propre à exprimer les loix de la dilatation qu'éprouvent les fluides élastiques par l'effet de la chaleur , a donné une méthode très-simple pour déterminer les coefficiens J , B , C, etc. et les quantités ^y fi ^ y, etc. mais comme cette méthode se lie naturellement avec la théorie dune espèce de suiteis^ nommées suites ri^ curnntes , que nous devons traiter avec étendue ^ -nous di£^erons jusques-là d'en parler*
Charles a aussi proposé quelques formules d'interpolation dans lesquelles il a introduit les sinus. Voici celles qui paroissent les plus commodes :
u'^p-. Î+Î-.Î y-, {-^r-^- )—, { + etc.
. usin^rx^ «,sînw(j/ — i) j/.sinWA:'— 2)
On y suppose que les valeurs u^u^^u^^ etc. répondent aux indices o > 1 , 2 , 3 , etc. Dans les deux premières les quantités /y, q^ r^ etc. sont indéterminées , mais cependant assujetties à la condition de n'être pas des nombres entiers ou des fractions dont le dénominateur soit moindre que l'indice de», dans le terme qu'elles affectent j et peuvent servir à remplir des conditions auxquelles seroient soumises en par* tiçulier les valeurs intermédiaires que l'on cherche.
La composition de ces formules repose sur le même principe que celle de la formule du n"". 877 ; les deux membres de chacune d'elles deviennent identiques lorsque l'on fait successivement
y = o , Ar'= I , x'=i 2% x'^rz 3 , etc.
w'= u , j/= u^ , »'= u^ , u'zcz u. , etc.
Le second se réduit toujours à un seul terme , qui se présente
44 Ch. !• 1) u Calcul
d'abord ^ous la forme de ^, mais dont il est facile de trouver la vraie valeur. En eflFet , si Ton suppose , par exemple , x=- 1 , les' numérateurs des termes de deux premières formules s'évanouissent tous j mais il n'y a que le dénominateur du second terme auquel il en arrive autant ; maintenant si l'on observe que
smsT(x»— i) = >-i L i ^+etc. l Int. ïi\ ^k)
*K-.)-, = Û±=ll + iïfzUil + etc. ( Int. n-. xx ) ,
on verra que les expressions g -' ^— { , q -h-/~
se réduisent, l'une à u^^ l'autre à cri^,, lorsque Ar'=i. Les numérateurs de tous les termes du second membre de la troisième formule étant multipliés par (sin^r')*, s'évanouiront toutes les fois que x' sera égal à un nombre entier ; mais il n'y a qu'Hun seul des dénominateurs qui disparoisse : quand on a , par exemple , a:'= i , le
.«,(sin wx')* /j -^ V .
terme -7— ^ rr- se réduit à t'i^^.
{x—iy
883. Quoique le but^de l'interpolation soît en général de dé<terminer des valeurs intermédiaires entre des quantités observées , sans connoître la loi qui lie ces quantités à leurs indices, ou à la variable dont elles dépendent, on l'employé aussi lorsque cette loi est connue et exprimée analytiquement , mais que les calculs nécessaires pour évaluer en nombres les formules qui en résultent sont très-compliqués. On se contente alors de déterminer par ces formules , de distance en distance » des résultat)! rigoureux , entre lesquels on interpole ensuite les valeurs intermédiaires qui doivent compléter la série qu'on se propose de former. Dans ce cas on ne prend point les différences successives des valeurs calculées par les formules résultantes de la loi , mais on déduit ces différences de l|expression analytique de cette loi j on en pousse la suite jusqu'à ce qu'il s'en trouve d'assez petites pour qu'on puisse les négliger , et par leur moyen on calcule les valeurs successives de la fonction u. Quoique la formation de ces valeurs
DES Différences. 45
soit facile à «déduire des relations obtenues dans le n"". 860 ^ néanmoins pour plus de clarté , j'en rapporterai ici le tableau , en tenant compte des différences quatrièmes que je supposerai constantes , ce qui donnera
etc*
etc.
AI/, + A*i/j Aî/^ + A*//^ A^, + A*«^,
aX=aX+^^^.
aX+aX
etc.
:a'«^ +a^u : aX + A^*'
etc.
On voit par ce tableau qu'ilfaut calculer d'abord la différence placée^ dans la colonne la plus à droite. Pour obtenir uq , par exemple ^ on forme a^u^ , en ajoutant à la valeur de a^u^ celle de A%^ qui est regardée comme constante; ajoutant ensuite a^ avec A*//^ , qu'on suppose déjà connue , on parviendra à a'w^ : en ajoutant enfin a^ à la différencie première Ai/^ , placée dans la ligne supérieure y il en résultera au^ ^ qui tst la quantité qu'il faut joindre à «5 pour avoir u^.
Il est aisé, d'après ce modèle ^ de former le tableau qui conviendroit au cas oh Ton s'arrêteroit à des différences d'un ordre plus élevé que le quatrième. On a aussi cette formule générale qu'il est bon de connoître :
elle s'obtient en mettant d'abord dans l'équation »,i=i/,i.,+A//^, , àla place de A//^, , sa valeur a//^, + a*^/^.^ , puis en chassant aV^^^ du résultat, par le moyen de sa valeur a^-î + aX-î» et ainsi de suite. Lorsque Ton veut se borner aux différences de Tordre m ,
on fait A"^'î^=o,etc.d'oîiilsuitA'"/^=*A"^.=AX» etc. il vient pour ce cas
En diminuant successivement d'une , deux , trois , etc. unités , les indices , et en soumettant chaque ter^e à une , deux , trois , etCi
46 C H. I. Du Calcul
nouvelles difFérentiations , on tirera de cette formutfc
etc.
A— Jn
Pour éclaircîr cet usage du Calcul des difFérences , nous allons considérer successivement les fonctions logarithmiques et les fonctions circulaires ^ qui sont celles dont les tables servent le plus fréquemment,
