A*« = — AI
~etc, I
etc.
+ etc
On poussera ces suites ^ selon la grandeur du nombre x^ jusqu'à ce que la dernière diâférence soit assez petite pour être négligée sans erreur sensible. Si Ton avoir , par exemple > x^^ loooo , et A = i , on trouveront pour les logarithmes ordinaires »
Aa= 0,00004 34172 76863
av =— 0,00000 00043 42*077 Ck^u= 0,00090 00000 00867 ;
et il est évident que si Ton ne veut avoir les derniers résultats qu'avec dix chiffres seulement > on pourra , sans craindre d'erreur sensible ^ négliger à.^u.
Cela posé> on aura le logarithme de loooi, en ajoutant à celui de 1000O9 ^^ ^^ 4,00000 00000 00000, la valeur de ùm, rapportée ci-dessus ; pour passer à celui de 10002 y il faudra ajouter à celui de 1 000 1 la quantité lu — ùl'u ^ puisque A*// est négatif; et siToii représente cette quantité pat ùm^ , le logarithme de 10003 s'ob* tiendra en augmentant celai de 10002 de la quantité A//, — A*//-f A'i/. Faisant A 1^, — a*« + a'^ = a ». , — a'« + ûu ac= — a V, , la
DES Différences. 47
quantité A«. — a*//, -h^^^ sera ce qu'il faut ajouter au logarithme de 10003, pour avoir celui de 10004^ et ainsi de suite. On pourra former ainsi , par de simples additions , les logarithmes de tous les nombres entiers consécutifs à 10000 , tant que la somme des difFé^ rences qu'on néglige à chaque opération ne sera pas assez considérable pour influer sur le dernier chiflre décimal auquel on veut borner l'exactitude de la table , et c'est ^ ce qu'on reconnoîtra au moyen de quelques logarithmes calculés rigoureusement à des intervalles éloignés ; car lorsque par la suite des additions successives ; on sera parvenu à ces logarithmes y il faudra que la méthode des différences les donne tels qu'ils ont été déduits à priori , au moins dans les dix premiers chiffres , si c'est à ce nombre que l'on veut s'arrêter. On iroit , par ce qui précède , jusqu'à loioo /sans trouver d'erreur sur la dixième décimale ; parvenu à ce but , on calculeroit de nouveau à priori les différences ù.ù y ù^u , ù?u ^ et on se serviront de ces derniers résultats comme des précédens, pour obtenir les logarithmes des nombres entiers qui suivent ipioo.
885. Voici d'autres expressions plus convergentes des différences premières et secondes de la fonction logarithmique. La série
l(;z+0=U+iiwf — i— +I(-4-y etcl ,
obtenue dans le n% iS de Tlntroductioû ^ donne ^ en changeant ntnx ct;[ en A,
ù.u = %M [ — m + -( — :s:) + -f — tt) + «^^- 1 ^
tiJ^ + A 3\i:c-pift/ 5\2x + A/ J
on pourroit former l^u ^ en développant la série
dx
dx^ 1 . 2
+ etc.
mais on arrivera à un résultat plus simple ^ en ajoutant ensemble les deux équations
l(Ar + A) =:\x + M\ . + --^+ etc. [
