X , XX^ 'IX^ AX^ J

LN , wf* A* *' *^ 1

48 C H. 1. Du C A i c u 1

d'oh il résulte

Si l'on change x — h en jc , et qu'on écrive par conséquent a;+A pour X et xJfxh pour x\-hf il viendra

l(*+zA) — xl(* +*) + !>: =

or le premier membre , cjui est équivalent à w.— i «j + « , se réduit A*f^: on a donc

Lorsque Jt est un peu grand par rapport à A , il suffit de tenir compte

des deux premiers termes de l'expression de hu. En effet, quand

, • j , liVf/ A x^

>:= loooo et A=i , le second terme , savoir, — — ( ^ — — r \

donne seulement o,ooooo ooooo 00036 , et le suivant auroit 1 ï zéros entre la virgule et le premier xhiffire significatif. A Tégard

de i^u on peut se borner au premier terme ; car le second, — jTXÂïï*

se réduit à 0,00000 ooooo ooooo 0117. Il suit delà qu'en désignant par N un nombre aurdessus de loooo, on a avec une foft grande exactitude ^

quant àU différence troisième, on auroit le premier terme de sa valeur en calculant le premier termç du développepient de d. -— , dont

l'expression est 1 ^ '^ ^^ '^^^^ P^^"^^ ^"^ '^ ^^^^^^ ^^ ^^^

deviendra bientôt assez petite pour qu'on puisse la négliger, et

rien

z>£5 Différences. 49

rien ne sera alors plus; facile que de construire une table de logarithmes d'après, ce qui vient d'être dit. . Au reste , si Ton vouloit plus de détail sur ce sujet , il faudroit consulter un Mémoire de Delambre , imprimé parmi ceux de l'Académie de Turin , pour les années 1790-91 , d'où nous avons tiré ce qui précède , et duquel nous extrairons encore ce qui regarde les différences des fonctions circulaires.

886. Nous n'entrerons ici dans aucun* détail sur les expressions des différences de la fonction a% parce qu'elles sont d'un usage beau» coup moins fréquent que celles des différences logarithmique^ ; elles sont d'ailleurs très-faciles à former , après ce qu'on a vu dans le n^. 864. On a en effet A".tf'=tf'(a* — 1)% et le développement de (a*— i)* se trouve dans le n% 866.

On obtiendra tout aussi simplement le développement de A^'.a'y^ y étant une fonction quelconque de jc ; on aura d'abord l'équation

et faisant ( a*-^ i ) JK + «*^y ==y> il viendra

puis posant (â* — i )y+tf'*Ay==y% on en tirera

ctc, ^ chassant ensuite y, y\ etc. après avoir fait pour simplifier ô*::;=<» ^ on trouvera

A», d*^=d'[(«— l)V+ 3 («— O'-AJ' + 3(«-r-l)(t*A>+ «"a'j^J ,

et en génér3l ' .

A".a'j^=?=fl'[(*— l)>+«(<t— I)— «A^ + -i-^ i(*i)-.«»A.^. , . +*-a'j3.