Puisqu'on a sin(x + A) :;;:sin^cosA + sinAcos;r, on en

déduira

A sin ii^ r=: sin nr CO8 A + cos :r sin A w^ sin at

= cos:vsin A— rsin x\\ — çosA);

et en observant que ir^cosA = *(sin^A)% il viendra

. AsinJc=cosJi:sinA— îsinAr(sin^A)\ Telle est l'expression rigoureuse de la différence première de sin;t. Appendice. ^ G

50 C H. L D ir Calcul

par laquelle on passe de sin^r à sin(:c + A). Pour obtenir celle qui mène de sin x à sin ( jkt— -A ) , on aura

sin ^— sin ( AT*— A ) = sin x •>-« sin Jtr cos A + cos^rsinA

c= cos ^ sin Â + sin X ( 1 -^ cos A )

. et si on désigne cette différence par A'sin * , on aura

A'sinx = cos;rsinA + isinjt(sin7A)% d'où on tirera

A sin AT — A'sinj;= — 4sinjc(sin^A)*.

Il est évident que a sin x — A'sin x n'est autre chose que la différence seconde de sin (x— A) ; et si on veut en déduire celle de sin;c, il suffira de changer x — A en * , et d'étrire par conséquent x ^ h pour :f , ce qui donnera

A»sinx = — 4sin(x + A)(sin^A)*.

On donnera une forme analogue à la différence première par le moyen de la formule

sin^— sin^ = i sin { (^— jB )cos 7 {J^S), de laquelle il résulte

Asinx=:ssîn(x + A) — sina: = isin5^Acos^(2Jr+ A) ;

et comme on a aussi

[cos^ — cos5 = -*-isîni(^~5)sin^(^ + 5),

on trouvera

|^A*sin:rs=asin^A[cosj(zA: + 3 A) — cos^( ur + A)]

s=— 4( sin 7A)*sin i(xx+ih) — — ^4( sin 7 A)*sin (x + h).

En poursmvant ainsi on anivera à ces formules générales

A^i sin*=: a^* (sinfA)<' sini(z*+4iA) A<^'sin * = »^*+'( sin '- h )<**'cos i ( i x + ( 4/ + i ) A )

A^"^sin * = — z^'+^C sin i A )<"-»sin i ( 1 * + ( 4^ + » ) A ) A^"-»sin * =— !**+'( sin \ h )< ""'cos f ( 1 * + ( 4 i + 3 ) A ) ,

renfermées dans \»s deux suivantes t

A"* sinx = =fci" (sin^A)** sinf (ur + mA) A"'+'sin;r = d=i»"+'(siniA)^-^'cosf(2:c + (2«+ i)A),

dans lesquelles il faut prendre le signe + lorsque n est un nombre

pair y et le signe •— dans le cas contraire.

jD E S DlFFÈREJ^CES. JI

888. Les formules ci-dessus sant déjà très* commodes , mais Legendre est parvenu à quelque chose de plus simple encore , en exprimant les différences de Tordre n par cejles de Tordre /i— i et de Tordre n — i , au moyen de cette équation i>

A"sîn xz=i — ( 2 sin ^ A )* { A'^^sin x + ^"'"•sin x}.

Pour en prouver la vérité , nous ferons remarquer premièrement que

A^* sin X = i^*( sin | h yhin (x+ lih)

= -.(isiniAy*-*X— 4(sin^A)'sîn(jir+ lîA) ,

et que — 4(sin7A)*sin(ji:+ iiA) = A*sin(ji; + (i^* — ^)*)f ce qui donne

A^* sin^rrr: — (isin^Ay*-»A'sin(;r + (ii — i)A) (i).

Par de semblables décompositions on trouvera de même

A^^^Vm jc = — { 1 sin i A)4*-*A^sin ( x + ( x i— i ) A ) (i) A^*+*sinx = — (isin^Ay^«A'*sin(:t + (ii— i)A) (3)

et si Ton diminue Texposaot de a , il viendra aussi

A<»-sîn;r = — (isin^Ay*-*Asin(*+ (if— i)A) (4) A^'-*sin:r = — (isjnfA)^'-* sin(jr + (li— 1 ) A) (j); multiplions maintenant par — (isin 7 A)% la somme des équations (4} et (5) , en faisant pour abréger x+ (1/ — i)k=x\ nous aurons — ( isin ^ hy { A^'-'sin*+ A^»-Sinx} =(isin^Ay^(sinA:'+ Asin:r')j or sin *'+ Asinx'=sin(jt'+ A) = sin(Af + ziA) et ( 1 sin 7 A )^*sin ( * + tih) = A^sin x: donc A^*sin x=: — ( x sin ^ A )*( A^*"'sin x + A^^^^sin x). Si Ton traite de la même âianière les expressions de A^^^'sin x ,

et de A^^sinr, on trouvera que leur somme multipliée par — ( isin -A J

est égale à la première valeur de A^^'sin x; il en sera de même dc35 expressions de A^*sinjp et de A^^'sîn;»; , par rapport à A^*+*sinj«r : enfin de celles de A^^^'sior et de A^*+*sin;t: , à Tégard de A^^^^in x. Dans tous ces calculs il faut prendre chaque différence avec le signe dont elle est affectée ; et comme les quatre résultats indiqués comprennent les diverses variations qu'il peut y avoir dans ces signes , Téquatiôn posée au commencement de cet article se trouve démontrée pour tous les cas.

Çi^ C u. L D u C A L c tr i

889. L'expression générale Uf,^=u^ + àu^=zu^ + Au + A*u donne

sin {x+i A)=sin (x+h)+ [sin(jt + A) — sinAr]-**sin(A:+ A)(isin ^A)% lorsqu'on y met pour A^sin^: sa valeur du n% 887. Cette formule est très- expéditive pour calculer des tables de sinus; car en faisant successivement ;i:=:o% x=i% x=2% etc. et prenant A=i*, on aura

sini*'==:sini*'+(sini'* — sino*)— sini''(iSLn3o')* sin3*'=sini** + (sin2**-T-sini*) — sini*'(isin3o')* sîn4*=sin3* + (sin3*' — ^sinz**) — sin3*'(isin3o')* etc.' et il ne sera besoin de calculer par la série

sin jt = 1- etc. ( Int. n^ 3 5 ) ,

que le sinus de 30' et celui de i*"^ pour lesquels cette -série est très* convergente : si Ton forme ensuite les produits des neuf premiers nombres par le terme constant (1 sin 30')% il ne restera plus à effectuer que de simples additions et soustractions. En calculant avec treize décimales, Terreur, suivant Delambre, n^iroît qu'à 0,00000 00000 06 sur le sinus de 60"". Passé ce terme , les sinus s'obtiendront pat la formule sin ( 6o''+J)=^sin (60**—-^) + sin-«^ , et l'on aura , pour se vérifier dans l'intervalle , les sinus suivans

sini5^=»/i-.V^r, $ini8°=iV/7-i, sin3o^=i,

sîn45^=»/I, sin54^=iV/7 — i» sin6o^=V3.

En écrivant x-^i\ ^— lo^', au lieu de x , dans la formule sin (:i;+ 2A)=sin (:i:+ A) + [sin (x+ A)— .sin;ip]— sin(:c+ A)(isîn j A )% et faisant A=ei', A=io^^, on aura ces deux équations:

sin(:if+ i')=isin:c+[sinjc— sin(Ar— 1')] — sin :r (2 sin 30^')* sin(:r+io'') = sin:r + [sinAr— .sîn(jt: — lo^')] — sin;i:(2sin 5'')* qui serviront à calculer les sinus de minute en minute et de dix secondes en dix secondes , lorsqu'on aura obtenu , par la série rapportée cidessus , les valeurs de sin i' et de sin 30'', celles de sin 10" et de sin5'^ L'équation dont nous venons de faire usage peut être retournée ainsi: sinx=sin(3r+A)— [sin(;c+2A)— sin(:c+A)] — sin(^+A)(2sin^A)* et devient

sin(A— .2A)=sin( Jt — A)— [sin A:*-*sin(^ — A)]— $in(:«; — A)(2sin ^ A)* par la substitution de x — 2A, au lieu de x; dans cet état elle

DÈS Différences. $3

donnèroit successivement les sinus ^ en partant de Tare de 90"" et en allant vers o"*.

890 La manière d'employer la formule

A"sîn jciis — ^isin-j { A"^'sln x + A'^'^^sin x }

n'est pas difficile à trouver. En partant d'abord de o**, pour passer à un arc très-petit , que je supposerai représenté par h ^ les expressions de Asin:r et de A* sin :ir donneront d'abord

A.sino*= isin jA COS7Â A* sin o**sr(i sîn ^ h )*sin h.

Ces deux différences étant calculées , on aura sin â et sinzÂ; puis formant les produits des neuf premiers nombres par le facteur constant ( 1 sin 7 A )% on tirera des équations

2 sin - j (a sin 0''+ A»sîn o* }

A^sîn o'^rs:—- f 2 sin- J { A*sino*'+ A^sinô*'}

etc.

par de simples additions et soustractions , les valeurs des difFé'^ rences successives , au moyen desquelles on formera celles de sin 3A 9 sin /^h , etc. ( n"". 883 ).

C'est par des procédés semblables qu'ont été calculées dans les bureaux du cadastre , les grandes tables des sinus naturels , avec 15 décimales, pour les loooo***' parties du quart de cercle. Prony, qui a dirigé ce beau travail , le plus étendu qu'on ait encore exécuté dans ce genre , ne manquera pas sans doute de faire connoitre en détail les méthodes dont on s'est servi pour en simplifier le calcul. Les tables des sinus sont déjà stéréotypées , et il est bien à désirer qu'on en fasse bientôt jouir l'Europe savante ; il ne reste plus qu'à imprimer les logarithmes des sinus et des tangentes qui ont été cal* culés avec seize décimales*

Les tangentes se déduisent si facilement des sinus et des co« sinus 9 qu'il est inutile de recourir à d'autres formules ; d'ailleurs leurs différences oe se présentent pas sOus une forme commode , et

54 Ch. I. Du Calcul

puis dès qu^on les a jusqu'à 45^^ on obtient celles des arcs suîvans par l'équation

tang(45^+i^)=itang^-.tang(45-— i^).

Les sécantes se déduisent sans peine de la formule

sec^ = tang( 45**± j^)=ptang^.

891. Nous passerons donc au calcul des logarithmes des sinus;

nous observerons d'abord , que la formule sînf-^= -— -

donne tous ceux des sinus des arcs moindres que 45"* par le moyen de ceux des sinus des arcs compris entre 45*" et ço"". Pour obtenir ces derniers de degré en degré , Delambre propose la série

lsin(^+ A)=lsin^+ xMl ^)-Z^-- +-[-^-Z^__ J + etc. [ qui se déduit de la série

l(« + 0=I/»+a^f— ^+^---^— Y+-^ etc.j ,

{Int. n% z8 ), en faisant /2 = sinAr, et « 4- { = sin(x + A), d'où il résulte t = sin(Ar4- A) — sin;c. En mettant Asin;r^ au

lieu de î, on aura

,.rf Asinjr 1/ Asin:^ \' 1

hin(;ir + A)=lsmjc4-i-M{-^ -— : — +-(--: ; — r— ) 4- etc. [.

^ ' l2Sinji:4-Asin:r 3\ismJc4-Asin;ir/ J

Si Ton prend ^=^45^ et Ab=i% on aura pour le sinus de 46** une série

très-convergente « et qui le deviendra de plus en plus à mesuré qu'on

avancera vers 90% parce que la différence A*sinx va toujours en

diminuant : quant au sinus de 45% son. logarithme est ^ 1 { (*).

Les différences successives de A 1 sin ;r > déduites de la formule cw

dessus 9 ne se présentent pas sous une forme assez commode pour

(*) Nous ne pouvons passer sous silence une série très-simple , propre à donner le logarithme du cosinus lorsque l'arc est très^petit , et que Delambre a fait remarquer le premier* On sait que

1(1— *0=— aJtf{^Jt*4-i*44-iA^4-etc.},(n*.4o). Si Ton change x en sin * , on aura i — «>= cos a*, 1 ( I — «• ) deviendra 1 ços «î ou alcosjv 9 et on obtiendra par conséquent

l cos *p= — jM { f sin **4- î sin *^4- ^ sin «•+ etc. ) >

DES Différences. 55

être employées dans la pratique ; mais lorsqu'il ne faudra qu'inter* poler des valeurs très-resserrées , on pourra prendre le premier , ou les deux premiers termes du développement de cette différence , obtenu par le théorôme de Taylor, termes qui sont

M j cotJr }- (i + cotJf*) J,

puisque

iAûnx *-C0S* ,^

— - — -=-: M- — = Mcotx ax sitkx

^Isinjc „ I ,.sînjkr*+cosjic* ^.,

— — ~= — iJf^— T = — iW T^î— =— jW(l+COtJt:').

Qualid on ne se propose que de vérifier des- tables déjà calculées y ou de les corriger^ on peut donner à l'expression de lsin(x+Â) une forme qui permette d'employer > au lieu des sinus naturels ^ des logarithmes contenus dans ces tables. En effet ,

Sin(4f + A)-->sin:r tang f (^ + h^x) ta ng ^ A __ ^ sin(*+A)+sinx/iangf (r+A+:r) tang(:c+îA) ~^^"g* ^«^^U^+îA};

on aura donc

l.sin(Af+A)=slsinAr+iJIf tang-cot(x+-)+~^tang-.cot(x + -^^ \

H (^tang- cotf X + - j j + etc.

Les termes de cette formule étant des fractions assez petites ^ pour les mettre en nombres ^ on se servira des logarithmes des tangentes et des cotangentes ^ donnés par les tables proposées , parce que Terreur qui pourroit se trouver dans les dernières décimales de ces Ioga<» rîthmes ne sera d'aucune conséquence par rapport aux résultats. Cest ainsi que Delambre a relevé plusieurs inexactitudes dans les grandes tables de "Wlacq. ^

891. La première idée de Calculer ou d'étendre des tables par les différences ^ paroît appartenir à Mouton , qui publia sur ce sujet , dès 1670 y une méthode dont je vais donner un exemple. Soit la série des nombres o, 15 , 41 , 87, 161, 275, etc. dont les différences

troisièmes sont constantes , entre les termes successifs de laquelle on se propose d'en insérer deux nouveaux assujettis à la même loi ; il faudra par conséquent que dans la nouvelle série les différences troisièmes soient également constantes. Désignant pour abréger, par les lettres a, b, c , dyle premier terme de cette série ^ sa différence première 5 sa différence seconde et sa différence troisième , on formera par les principes du n"". 86o , ce tableau.

Indices,

Nombres.

aA- b

a+ib+ c

tf + 3*+ 3C+ d

' a-\-^b+ IOC+ lod <z + 6A+ içc+ioi a+yb+iîc+'^^d a+>ib+iSc+^6d

Différences i'«».

b+ c b+ic+ d

i + 4C+ ed

*+5^+ lo^ A-4-6c+ i^d

b + jc+iid b + Sc + x^d

Dlffér. a"*».

c+ d c+xd c+^d c+^d c+^d c+6d c + jd

Différ. 3

et en le prolongeant aussi loin qu'il sera nécessaire , on y trouvera ^ dans la première colonne , tous les termes d'une série quelconque , dont les différences troisièmes sont constantes ; mais lorsqu'on aura intercalé deux nouveaux termes entre chacun de ceux de la série proposée > le second de cette série se trouver^ le quatrième de 1^ nouvelle , le troisième deviendra le septième , etc. et en général il i^Eiudra laisser dans la première colonne du tableau , entre chacun des termes qu OQ prendra , autant dç tergies intermédiaires qu on veut /n intercaler^

Pan$ re:;^emple lactuel les termes donnas répondront aux suivans

In^ces.

Nombres; a

a + 6b+i^c + iod a + ^b+^èc + S^d

etc.

Différences i^^»».

'^b'^xic + ôj^d

Différ. a««».

9<:+ iSd 9^ + 45^

Différ . 3»«».

dont le$ difér^nces , placées à côté , doivent être identiques avec celles

<ïui

DES Différences. 57

qui résultent des nombres o\ 15,- 41 , 87, etc. En ' calculant ces dernières » on obtient 15 |K>ur la première différence , lï pbûV^là deuxième ^ et 9 pour la troisième ; comparant avec la formule qui occupe la première place dans chaque colonne dU tableau ci-dessus , en commençant par la ilroite , on trouve

27^ = 9, 9C+ î8âf=== 11,^ ^ .3 4+ 3c + i== 15, d'oîi Ton tire d=j; c = ^V ; *=^-t- ^^ » de plus tf=o, et par le moyen de ces valeurs on formeraosuCitessiveoient tous, les termes de la série interpolée. ..u^. : ..i.i

893 . Mouton ne put résoudra lui«mêti}Q( la question qu'il s'étoit proposée ; ce fut un de ses amis ^ dommé Regnaud , qui construisit le tableau qu'il rapporte, dans son ouvrage^ et dans* lequel .'Ot sont les différences cinquièmes qui 90rit.$4pposéç$c9n^aiiteSt Riegn^u4>qui ne connoissoît point Texpression analytique de |a loi que s.uivoient les termes des diverses colonnes de son tableau , le construisit en commençant par celle qui se trouve à droite , au moyen de laquelle il forgea les autres par de simples additions ; cette espèce d'induction , beaucoup moins commode que les expressions algébriques , fit oublier le procédé proposé par Môutoil. Prony Ta repris et en a déduit des formules patunemiarchefqiii'flqit rossefubler à peu^près à ceUe-cî»

Supposons qu'on veuille intercaler in-^x quantités équidistantes ^ entre les deux quantités u et 1/, 9 qui répondent à deux indices dont la diâFérence est l'unité, il faudra partager cette différence en m parties égales , et chercher par U formule du a% 873 les valeurs

de Uf qui répondent aux indices .•=—^ — , rr-^.*.T— , etc. on

^s\.^ , { m mm m

obtiendra cette nouvelle suite : ^-

u H — 6:u +-^^ — u.-l^A*i/^ — i ^-^ ^ ù?u + etc.

m . fiîm^m m^xmmjm

u+—^u + -^ '— A*« +. -i^ ^ ^ A^u + etc.

m . tn^xm m^^m^tm

« j. 3 A « ■ 3(3-"")...... 3 (3-^w)(3--im)

If 4*T^ A ^ +" "' ' "A f/^^ ■' ■■ A w + etc»

m ntmXm .««r m^^m^^m

»+— AK + — i iA^u+— — ^A^w + etC.

m m»xm m»xmmym

jipptndUc. M

5 8 ^ Ç ij. I. Du Câ£cvl

don^-ît sf^ra 4^ trouver les différfsncfs swfi^wts^^ et c'est ce qui 3!e0èctuera d'une manière cooiinode 9 ei^ pi;enaat séparément celles de chaque ternie. Le résMUat se présentera sous une forme très-élégante et très- simple 9 si Ton fai^ attention que les suites

o , 1(1-/77) , ^{^—m} , . ,3(3--;7;), . . * , n(ji^m) ^

etc. ' ^

peuvent dti^'regâtdééS comme ^^ i valeurs successives déduites

respectivement des termes généraux

x^ Aî(;r— ni),' -îc(x^-m) ( jt — im), etc. en prenant pour Ji^ tous lès nombres entiers, depuis o, jusqu^à n inctttsivtment ; en sorte, q^ie les n^i valeurs de u^ rapportées plu & haut ^ «e tireront d«4cette eKpf^sio» X xtx^mS '''-'x(]c^fft)Xx^lfhYf'' •>'' -^'\ ■••^^-^'••T

772 i.'im* ' 1.1.3/72*

x(x^m)(x^im)...(x^(n^ï)m) x(x^m) (x—%m) .. . (x^nm)

-4- . ■• - • ^ U-f- • ' ' " ; r -rr A . U

^ jff :r— m)(y— 1/gg) , . . (AT^/l-f lf)m) + ot. '

+ * ■ ' ' ,, "T — -TT-» — A ^ 11+ etc. .

en y iiaisafit varier s^€9tteiitï ^^;^ par des 'diâféroices ^ales à l^unitéi

Si on désigne par Jfe , 'S'^^uy^^^ ..i""u\ lès diffécences de u lorsque

l'indice augmente de la quantité — » en conservant toujours la ca«

ractéristique A pour les cas oh YmUcn varie de l'unité « on aura

Ax ùSxlxs^myX ^ T , -Afjc (jr— -771 ) (:r-«- 1/72) T . ,

4" «=• — Aiy4-*'^" < ^ aV-j-"^ — i— -fc — ^ t. ,,■■ :■'' a^h 4- etc; w *-^ i.im* '• ^ 1.1.3/72^

l^u— - ^ ....-^Ja^j^^^-^J^ ~i^ iiA^« + etc.

An'A:(A:— ;72)(a:— .i;72)] , .

J^i/=s: — t~i/ i^,- LA A^u + etc.

, f . * A*rA:^r— /72)(r — i/7z)...(t— (/2— i

et en général /"^<»c» .^.-^^r^- >v H^-— v^

■ 1.1. 3... "(n-fi )'«•*" A'[x(Af~a)(^^z>»)^(*~(.a+i))/»3

DES D I F F È R é N c'a 5. J9

en observant de faire jc=o , aprè$ ks dîfférentiations. tl est évident que si dans la série des quantités données Uy i^^ , u^, u^ ^ etc. les différences de Tordre p sont constantes , l'expression de S^u s'arrêtera

à cet ordre, puisqu'on aura ùr*"u=o^ et le dernier terme sera

.■■■■■ ■< ■ Il „. ■.■■,. I I m ■■■ I m I f 1 1 ■ ijt ni uarlfm

Il ne reste plus , pour avoir l'expression générale de l^fi , qvi'à déve« iopper les différences des fonctions

X, X (.X— /w) , X ( a:— /7i) (x-i-i/n) , • • • • jr ( x— ^/fe). . • (jir— z/ti)/

Ces fonctions étant ordonnées par rapport aux puissances àç x , prennent en général la formé

oîi les lettres J , B , C...,I ^ désignent des coefHciens numériques indépendans de x et de m. Si Ton fait successivement.

i ^ « — I ., i = « , i-=:/ï-fi, i = /2+x, etc.

on trouvera pour les différences n^^' de cette fonction , des résultats de la forme

« , </m + fi', tt''m*+ fif'm + y''^ etc. A , <t\ S!^ etc. étant des nombres ; et il viendra par conséquent

' i.i.../2/»-l "(/2+i);7i («+i)(/2+iK «+etc.J,

expression que Ton peut écrire comme il suit :

en observant que / a; = — , puisque l'intervalle compris entre deux

indices et représenté par l'unité est partagé en m parties égales. Passant aux limites relatives à la supposition de m infinie y le rapport des dif-

férences , dans le premier membre , devient le coefficient différentiel — ,

et l'on trouve

^u If J ^ a!* \

*^— =r làiÙ^uA ^ A"'*"'tf4- A"**//+etc l

$o C H* L :D u Calcul'

formule analogue à celle du n\ 867, et où Ton peut facilement res« jtituer la quantité h que nous avons supposée égale à l'unité.

894. Nous n'avons encore donné des formules d'interpolation que pour les séries résultantes des fonctions d'une seule variable ; nous n'entrer>0QS pas dans le même détail à l'égard dés séries dont le terme général t^t une fonction de plusieurs variables : nous nous bornerons seulement à faire cbnnoître pour ces séries une formule analogue i celle du n'. 873. Nous observerons en premier lieu qu'elles ne peuvent être coordonnées avec leurs indices que dans une table de la forme de celle qu'on trouve à la page 449 du premier volume de cet ouvrage, et dont voici un exemple particulier tiré de la fonction w= 5 + ;t*+ ^xy ^ '}y\

Valtun de

etc.

etc. .

lOI

etc.

Une pareille table se nomme Table à double entrée , parce que , pour y trouver un nombre quelconque , il faut connoître le numéro de

DÈS DiPFéRENCES. 6l

la colonne verticale et celui de la bande horisontale , oîi il se trouve , circonstances qui sont marquées par lés indices placés horisonta-* lement à la partie supérieure de là table, et par ceux qui se trouvent sur le côté gauche. La valeur que reçoit la fonction u^ lorsque x=zj et j^:=4 9 par exemple , est le nombre 86 , situé dans la colonne marquée 3 , sur la bande numérotée 4. Si , pour plus de généralité , on suppose que la différence entre les valeurs successives de ::r , soit représentée par A , et que k désigne celle qui règne entre les valeurs dey , il est évident que Ton passera de Tun des nombres à celui qui le suit dans la bande où il se trouve , en changeant dans la fonction donnée x en x-^-k^ et à celui qui le suit dans la même colonne oh il est placé, et mettant y + A pour^'. Pour interpoler des valeurs intermédiaires entre les termes d'une même bande, ou d'une même colonne , on n'a besoin que des formules

a'=«+A^+ \ -'a>+ ^ . ^^ , — i-AV+ etc.

puisque dans le premier cas y est regardé comme constant , et que x Test supposé dans le second : mais pour considérer la question en général , il faut assigner ^expression d'un terme qui se trouveroit sur une bande intermédiaire, entre deux bandes consécutives du tableau , et dans une colonne intermédiaire aussi entre deux colonnes consécutives , ce qui revient à chercher l'expression de ce que devient u lorsqu'on y change en même tems x en x+hf et y eny+k\ Soit 27 cette quantité; on verra facilement que son développement doit résulter de la substitution dey+k^ à la place dey dans celui de u\ ou de la substitution de ;ir+Â^ à la place de x dans celui de u^ : arrêtons- nous à la première substitution ; nous aurons

en observant que ù^yu'^ a* ^u', etc. représentent les différences successives de n'y prises en faisant varier j^ de la quantité k. Développant

c€tte équation sous ce point de vue ^ nous obtiendrons

V = u+—£,,u^^ \ ^A> + ' . ;\. ^A^« +etc.

k! k' A' «4-» ' Jt' A^A^— A) 'a+t

+ — A ï^+ — A U+ — —7 7 A {< + etc.

il ^ k h *, y k A,iA *• y

k'fk'—k) k(k—k) h! x+. .

+ ■ \ ■ ■ 'av^ + \ . ^ -r A « + etc.

+ , ,^ , ^A> + etc.

Pour faire usage de cette formule , qu^il est aisé de pousser aussi loin qu'on voudra , il faut former les quantités ,

«, A,i^ , A%« j aV, etc.

àyU ^ Au, ^ ^9 A /^. etc*

A\l/, A tf, A «, A £f^ etc.

Celles de la première ligne s'obtiennent en prenant comme à l'ordinaire les différences de la suite des nombres écrits dans la première bande du tableau; puis en désignant par Uy^ , Uy^, Uy^ , etc. le premier terme de la seconde ^ celui de la troisième , etc. bandes , et prenant les différences successives dans chacune de ces bandes ^ ainsi Qu'on 9 pris celles de la première ^ on aura

«, A*«, A*^, A*j,u, etc,

- «^1 1 ^'^j'i > ^^x^yi j A^Kjrc , etc. »n> A,tf,^, à\Uy^, ù?xUy^^ etc,

tf^, , Ajt«;.j, A%tt^j, A^«^5, ctc,

etCf retranchant les termes dç chaque ligne de peux qui leur çorrçs» pondent dans la ligne suivante, on trouvera

A^u =wv.— î^f ^ " —^xUy^—à^u^ ù u =:A\a^,— A%tf, etc,

etc.

M Opérant de même iur ces dernières lignes , il viendra

*»y *ty *ty *»^ * •»J' *»^

AV«y,=Ay«y.— A^, , A a>.=A «y4— A «y„ A «^.= A K^.— A tt , CtC.

etc.

puis

A>=AVv,— A^ , A « =:A «^.— A .«, A « =A «y.~A «, etC.

etc*

Afin d'édaircir ceci nous allons l'appliquer à l'exemple contenu dau^ le tableau de la page 60 ^ dans lequel on a â = i , À = i , Nous en tirerons^ I^ en prenant le premier terme de chaque bande et ses différences successives ^

i\ en retranchant, terme à terme, chacune des lignes ci-dessus de celle qui la suit,

15 ar o etc.

'3*. en opérant de même sur ces dernières lignes ,

4*. enfin

il résulte d^ là

AxU . n^t ^

A*,« Str'l,

A';^ttî3SO

' Aj,« =3 , .

à^yU 0 ,

i+a - A U^=ZO^

A tt=2iô,

et substituant ces valeurs dans celle de V ^ après y avoir fait A^nsi ,

64 Cn. l. Du Calcul

k=^i j il viendra, par les réductions , i7=sç + A'*+iA'Jt'+3VS fonction semblable à celle qui a servi à construire le tableau.

La solution du problême proposé est rigoureuse dans le cas actuel 9 parce que la fonction qui représente le terme général de la suite proposée est algébrique , rationnelle et entière ; mais quand on voudra faire usage de la formule générale ^ pour des suites d^lne autre na«> ture y il faudra que les différences aillent en décroissant , comme lorsqu'il s'agit des suites dérivées des fonctions d'une seule variable.

895. On parviendroit ficicilement , d'après ce qu^on vient de voir, à la formule d'interpolation relative aux fonctions d'un nombrequelconque de variables 9 c'est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas ; nous terminerons ce que nous avons à dire pour le présent sur ce sujet , auquel nous reviendrons par la suite , en faisant re» marquer que l'expression de 27, du n\ précédent, peut s'obtenir par l'analogie qui r^ne entra les puissances et les différences. On a ^ p^r

les n^\ 8(5 5 , 8^9 , Z7^i/=a'«=^^* ^^ — i

du l(i+A-,tf) du. k\, .

^e qui donne a'^ = ( i + a,« ) '^ ( i + à^^ -^ i , cf en déyelopr panty avec Tattentioii de changer les produits de la forme (/^jiyÇjikyuy

en A u, on retombera sur le même résultat qui se déduiroit de

l'expression de Z7, trouvée plus haut ( n*. précéd. )

En poussant l'analogie aussi loin qu'elle peut aller ^ on auroit.^ quel que f&t le nombre 'des variables de la fonction xç^

c hr k' £ Y

pourvu qu'après le développement , on écrivît A ''" «■ ^u lieu de (A,ay(A^)«(A,K)'.,.,

rr £ i DirFERENCESf. 65

8o6, Le Calcul inverse des différences est, à Tégard du Calcul '^"'^^i^"' ''^' direct, ce qu'est le Calcul intégral, par rapport au Calcul diffe* ces, par rapport rentiel : il a pour objet de remonter des différences aux fonctions p^çit^"^"'^"* ^*' primitives. Nous nous occuperons d'abord du cas où les différences sont données explicitement par les variables indépendantes ^ c^està«dire, oii Ton a, pour déterminer la fonction u^ une équation ^ de cette forme A*tt=f(A:, A), A étant la différence de la variable indépendante x.

Soit premièrement «= i , ou Aj/=f(^, A). Cette équation ne fait connoître que le changement qu'éprouve la fonction u lorsque x devient x+h^ et ne détermine rien sur la valeur absolue de cette fonction ; mais si Ton suppose que quand x=^a , on ait «2=5 , il sera facile de former , en partant de ces données , toutes les valeurs de ^; car aux indices

correspondront ces valeurs de a :

*f *+f(^,A), *+f(a,A) + f(tf+A, A), A+f(tf, A)+f(a+A,A) + f(tf+xA,A), etc.

L'introduction de la quantité arbitraire b a lieu ici comme dans le

Calcul intégral , pour remplacer la constante que la différentiation

fait disparoître ( n"". 1 5 ) ; mais on voit .que la signification de

l'équation Aaz;=:f(;r, A) repose dans le cas actuel sur la valeur

assignée à l'accroissement A , et qu'on ne tire de cette équation qu'une

suite de valeurs discontinues qui se succèdent d'après une lot

donnée,

Si l'on a voit A*a = f(A;, A), on ne pourroit tirer parti de cette équation , qu'en se donnant une première valeur de u avec celle et à.u qui lui correspond , pu deux valeurs consécutives de u. En effet , si , lorsque A:=tf , on posoit «i=A , et A«=c , qn auroit , par le tableau du n^ 8S3 , pour les indices •

^, tf+A, tf+iA, ^+3*> ctc*

cette suite de valeurs

*f ^'fc, i4.ic+f(tf,A), ^+3c+2f(tf, A)+f(tf+A,A), etc. Les différences de l'équation A*2^=f (at, h) donnant successivement . p?u 9 ^'^^ , etc. on peut aussi s'élever immédiatement à i/„ , par la

formule i/.=5:k+«a«+ -^ ^A*/i+-i ^-^ -a^u. . . + A"«,

dans laquelle on voit évidemment que les deux premiers termes u et nAu demeurent arbitraires. Il est facile maintenant d'étendre ces considérations à tel ordre qu'on voudra.

897. Les valeurs successives de 2^ ^ données par Téquation A2^ = f(:i;, Â), n étant autre chose que les sommes consécutivas des termes de la série

{{a y A), {{a + h, A) , f(tf+iA, A) ,... .f(ii+nA, A),

correspondans aux indices

tf, a+h^ a+iky tf+zïA,

augmentées de la quantité arbitraire i , il s'ensuit que si l'on regarde a+nh comme représentant la valeur indéterminée de a: , l'expression générale de la somme des termes de la même série ^ pris depuis le com* mencement jusqu'au terme correspondant à ce dernier indice, inclusir vement, sera u+fÇa+nh^h) — i, ou u + ({xyh) — *, ou enfin u+ Au — t» Pour s'en convaincre , il suffit de former la valeur de u^ qui répond à l'indice a+nh, et dont le développement est

*+f(tf,A) + f(tf+A,A)+f(tf+iA,A) +f(a+(«— i)i,A).

On peut déduire immédiatement ce résultat des formules générales du n"". 860, en faisant la somme des équations (i) , qui donnera

U,,—U=àU + Au,+Au^. . . • +AU^, ,

et par conséquent

Uj, + àUj,'^u=^u +Au, + Au^....+ AUn^^ + Ai/^ ; ou 9 comme ci^dessur,

u^Au — b=zi{ay A) + f(tf+A, A),.*.+f(tf+/2A, A), en changeant u^^ tn u\ u tn b ^ et mettant pour An, au,, etc. leurs expressions relatives.

On voit par ce qui précède , que la recherche des fonctions primitives, par le moyen de leurs différences premières » revient à la sommation des suites , et que l'une de ces opérations conduit à l'autre. En effet , si l'on désigne par 5*,^ l'expression générale de la somme des termes de la suite

on aura 5^=w^+At^^— « et u^^^S^^ — Ai^^+n,,

équations dans lesquelles //» ^^^ 1^ fonction primiii/e dont la dlffé*

i) E s D I F F^ È R E N CE s. 67

. rence première est exprimée par le terme général â^u^ de la suite proposée , et u représente la constante arbitraire. Par la première , on obtiendra la somme de la suite proposée , lorsqu'on pourra trouver la fonction primitive correspondante à spn terme général, et la seconde, donnera cette fonction primitive dans tous les cas oîi l'pn connoîtra â priori le ternie général et la somme.

^ Pour indiquer le passage d'une différence à la fonction primitive dont elle tire son origine , on se sert le plus communément du signe s; ainsi, lorsque Au=^{(x,h) , on a u=zx({x, h)'^co7tst^ D'après cette notation et les équations précédentes , il viendra pour la série dont le terme général est f ( ;e, A ) ,

i5f(jc, A) =:sf(jc, A) + f( a:, A) — ^0/25/. zf (jc, A) = 5'f(jc, A) — {(x'y.h) +consu

en changeant , par analogie , Sj^en S((^Xyh)^

On donne aussi le nom d'intégrale aux fonctions primitives : u est Fintégrale de au^ sf(:kr, A) est celle de f(^,A}. Cette dénomination se présente naturellement lorsqu'on regarde le Calcul différentiel comme un^cas particulier du Calcul des différences. ( f^oyei la note de Ja page 2 du deuxième volume , et n\ 470. ) L'expression générale de la somme d'un nombre quelconque de termes de la suite proposée , ou 5f ( ;r , A ) , s'appelle terme sommatoirc ; et les équations rapportées* ci-dessus , donnent la relation entre le terme général , son intégrale première et le terme sommatoire»

898. Les règles pour l'intégration des différences sont en très-petit nombre , et malheureusement les cas oh l'on peut s'en servir avec succès sont très-bornés. U suit de la formation des différences, i"** que

et en remontant aux fonctions primitives, on a

ce qui ramène l'intégration des diférences polynômes à celle des monômes ; -> . .

i*. que A.tf-Sre=tfAX, d'oîi tfXsss.n AA' = 43;A-5r, ce qui prouve qu'on peut à volonté faire sortir du signe x, ou introduire sous ce sig^ne un acteur constant,

6S C Yi. l. D U C A L C U L

3'. Lorsque « = :t"^' et que m est un nombre entier, il vient

En intégrant terme à terme chaque membre de cette équation , remettant dans le premier :t:«+S au lieu de ii , et passant hors du signe X les facteurs constans , on obtiendra

Cette équation feroxt coanoître l'intégrale sx", si l'on avoît X *"*"', ïx"""»,.. ..s x% puisqu'on en tireroit

Si Ton écrit successivement dans cette dernière m— 1,./» — x,

m 3 , etc. pour m , on formera des expressions de x :«:'""'" ,

X rt'""^ X :r™"% etc. qui ne dépendront que des intégrales des puissances de X qui leur sont respectivement inférieures. On peut aussi former ces valeurs en rémontant ; et si Ton prend d'abord ;n=o ,

• il vient X ;c**= t 9 P^tce que l'accolade ne doit renfermer qu'un

nombre m de termes. Cette conclusion se vérifie d'ailleurs â priori ,

soit en observant que de «=:» , il résulte Ax=A.Ar*, ^=:A,xj?%

et par conséquent x it*'^ ^ ; soit en prenant la différence de la

fonction primitive -, pour laquelle on trouve

Faisant ensuite 772=1, mz=zx, m^ss^'i , etc. et substituant

DÈS DiFFERENÇES. 6<)

successivement poursAr% 'lx\ sjt:', etc. les valeurs auxquelles on parviendra f on formera cette table :

XK^z^ — -a?* H ar'A — — ^ 4? A^

on 1 2.6 1.6

etc.

Au lieu de pousser plus loin cette înduction^^ supposons qu'on'ait en général

s jr"*=^ ^'"■^' + iî x"" + C* a:*"' + D ^'"-* + etc. nous aurons , en prenant la différence première de chaque membre ,

^":=^^ ^ <a?"t+^>- ^ ^ ■y^^'A'+^i— ^ ^ , ^;tr"''A^+ etc.

+ .2? — «"-'A + B -A^ i AT-^^A* + etc.

+ C i ^ x'^'^h + etc.

+ etc.

et comparant entr^eux les termes aâectés d'une même puissance de x ^

nous obtiendrons entre les coefEciens A^B^C^ D , etc. les re«

lations suivantes

etc.

70 C n. J. D 1/ C A L c UL

avec lesquelles on déduira facilement les uns des autres les coefficient de l'expression de s .r", quel que soit l'exposant de la puissance m. En calculant immédiatement les douze premiers termes ^ on trouvera

AT*""^* I 1 mk tm(m — i)im — ^)h

■■Mi ■ ■■ — ■■ ■ * -^1 " X

lo 1*3 8*9

6 ~ . 1,3 io. II

691 m(/y2~i),.>;(/H--io)A'* ^^„

. lia 1.3 Il* 13

3î m(/y2~i).,>>(/n~ii)A'^ ^„^^,

1211177 m(m^^ i). .. .(/iz-^ï8)A*^

IIO ?'«3**« ««lO.!!

etc, + c(W2J^

formule dans laquelle les coefficiens exprimés en nombres tnéritent attention , parce qu'ils reviennent souvent dans I9 Théorie des suites*

Nous observerons , ayant de finir cet article , que si l'on mul* tiplie zjt"* par A^ et qu'on p^sse cet accroissement $ous lesi^ne z^ on aura cette équation

j; x'^h » — - ji:*A-| X ^^ + etc. + conse.

4ont le second membre a pour limita J- const. lorsque h

s'évanpuit, cas auquel sa?'"^ se change en f^^Tàx , d'pprçs ce ^u'oa » vu daps le n^« ^79^

'899. Ce qui psécède fournit le moyen d'intégrer toutes les fonc« tions algébriques rationnelles entières , dans le cas où la variable indépendante reçoit un accroissement constant. Prenons pour exemple la fonction Ax^-^- Bx*-^ Cx -^^ D^

nous] aurons

:s.{Ax^+Bx^ + Cx'\'D)^A^x^-\'B:lx^'\^C7^x+D^x\ et mettant pour sa:^, sa?*, ^x et s^% leurs valeurs, il viendra

A , xAh-^iB \ Ah^^xBh+xC . iî/i*— 3a+6Z>

' — r^ — ' ^, J»? ^ ; ^ H T-T X + co«5/.

4A oA 4Â p A

900/ Il existe un genre de fonctions rationnelles qui s'intégrent avec la plus grande facilité; ce sont les produits de la forme

en e&t , si Ton en prend la difFéi'once ^ on obtiendra

Au XAU U

et comme x r — - — r-7 = - — rm "^ 7 — ; — rr 9 ^«. aura

(x+a) {x+a+h) {x+a + xk) (x+a+mh)

ÔM^* [ "^ '"'"''•

Si Ton écrit dans ce résultat >— A, au lieu de x^ et m+i, au lieu de m, on aura . ; .

•2{(jt:+tf)(ar+fl+A)(^+4 + xA)....(jk:+tf + ;»*)}== (A:+ig^A)(y+tf)(^+^+A).,,.(jp-htf4./pA)

On donne à Ce résultat uiie forme plui simple et qui paroît d'abord plus générale, en représentant la fonction // par XX^X^,...X^^ et supposant que les différences premières des quantités Jl, -y, , -Sr4,.......-3r„»,:soient constantes: par cette notation

on trouve

Att= W|— tf =Jl, JC^-Xij • • « . X^f^^-^XX ^X ^ .... Xm

^=^X^X^X^ • • • • Xjn\Xjn^^''^X)^=:^X^X^^ .... ^^X (/?2-{- i)AX

7* a Yi. \. D U C A L eu L

d'où il est facile de conclure, comme ci-dessus.^

£ X, X^X. . • . X^z=i — -— - — 4- CQTlSt. :

V v V V X^^XXy^.nXm

en mettant /rr+i pour iTi^et diminuant ensuite de Tunité chaque indice.

On intègre aussi la fraction • . — ,

JK^ XiXg^» m mX^

parce qu*en la différentiant on trouve

^^|.^^**»^|» X fX ^X. %••• Xj^m^j X-X^X^mmmX^^

XX ^X^^ • • • -^m^x XX ^^X^ . . .^„^^,

ce qui donne

XX^ X^ • • • X„^^^ \^'\' ^^^X X X^X^m « • Xm

et changeant m^ i w m^ on obtient

XX^X^^ ^ ^Xji^ m^X XX^X^% m •Xjf^ ^

j^oi. Il est à propos d'observer que l'intégration des fonctions

ile^ forme

^^c'+^jc^+CjcV+etc,

peut s'effectuer par les formules ci-dessus , «n les transformant en produits de facteurs dont les différences soient constantes* Pour Iç faire voir, je choisis cet exemple très<isim pie : x^^ et je fais

*'3=(x+A)(:r+aA)(4P+3A) + ^(x + A)(x+ii)+^(jr ; A)+C, en supposant que h désigne l'acaoîssement de x. Si l'on développe , et qu'on ordonne suivant les puissances de 4r ^ on auc^

+ Jî y + J? A

z> E s Différences.. 73

et comparant entr'eux les termes affectés de la même puissance de at , on formera les équations

6A + ^ = o, iiA*+ lAh +5=0, 6/z'+ 2^A*+BA + C = o,

desquelles on tirera

ce qui donnera j en vertu du n"". précédent^

— ijc(ip + A)(jt+iA)+ ^Ax(jc + A)— A*:(f +tftf/w/.

Il paroitra sans doute plus court d'appliquer immédiatement à la recherche de Tintégrale la méthode des coefficiens indéterminés , dès qu'on aura reconnu que cette intégrale est de la même forme que la différence , excepté qu'elle a un facteur de plus dans chacun de ses termes ; on fera donc tout de suite

^Bx\x^h)\x^ih) J^Cx\xJth)

+ Dx + const.

et pour obtenir les coefficiens A^B^C^D^ on prendra la diffé*

rence de chaque itaembre de cette équation. On parviendra de cette

manière à

A:'=«4^A(jr + A)(Ar+tA)(jc+ 3A) + 35A(â? + A)(;r+iA) .• +iCA(\i: + A) + I>h\

il ne restera plus qu'à développer le second membre de cette dernière équation , à l'ordonner par rapport à jkt , et à déterminer les lettres A^ B , Cj Df comme ci-dessus: ce qui ne présente aucune difficulté.

En généralisant ce qui précède , on verra sans peine que pour ramener la fonction ax^-^- tx^+ cxy+ etc. à un produit de Apptniiu. K

74 Ch. l. DuCalcitl

facteurs équidiffirens , il faut ,s\a désigne le plus haut exposant de at ^ la comparer à cette expression:

+b{x + h)ix'{'\h)....{X'\'{A—i)h) + C{x'\'h){x ^ xh)....{x'{' (a— i) A)

Lorsqu'on voudra l'intégrer, on pourra poser immédiatement

,s(<îJi*+**^+c;r>+etc.)=^Jt(a:+A)(x+ xh) (jif + *A)

+ 5 Ar( JC+ A) ( Ar+ 1 A). . • (jc + (rt— i)A)

+ C:c ( Ar+ A) (jc + lA). . . (a:+(«— i)A)

+ Ix{x^h)

et opérer comme nous Pavons fait pour obtenir z x^.

Il est évident que cette méthode donne aussi le moyen d'intégrer le produit de facteurs équidifférens

quoique leur différence première ne soit pas égale à l'accroissement de X ^ que nous continuons à désigner par A, puisque ce produit étant développé devient de la forme tf *•+ *x^+ etc.

901. La considération des produits de facteurs équidifférens est d'une telle importance dans le Calcul des différences et des suites ^ ils y reviennent si souvent , qu'il est convenable d'entrer dans quelque détail sur la transformation dont nous venons de montrer l'utilité dans le n"". précédent , et en même tems de désigner ces produits par une notation plus concise. Nous choisirons celle que Vander* monde a proposée dans le Mémoire de l'Académie des Sciences pour l'année 1771 ( première partie , page 489 ) , parce qu'elle nous a paru réunir à la simplicité , l'analogie et la facilité de se prêter au calcul.

Par l'expression jc' on entend le produit d'un nombre n de terthes consécutifs de la suite

* , X , X , Xy X ^ etc.

£> E s Différences, 75

dont les aifferences premières sont nulles. Après cette suite , se présente immédiatement celle-d,

X, Jt + AAT, x-^XAXj jt: + 3 AX, etc.

dont les différences premières sont constantes et les secondes nulles : il paroît donc naturel de regarder le produit d'un nombre u de termes de cette dernière f comme venant après la fonction ^^ dans l'ordre de la simplicité, et de l'exprimer d'une manière analogue; c'est pourquoi nous représenterons la quantité

x(x'^^Ax)....(x+{n'^i)àx), par [^,a], A tenant ici la place de a jr pour désigner la différence commune des facteurs , et n étant leur nombre. Passant aux suites dont les différences secondes sont constantes et les troisièmes nulles , suites dont la formule générale est

Jt, JT + A, Jir + 1A + A% Ar + 3A + 3A% etc.

nous indiquerons le produit des n premiers termes , ou la quantité Ji:(^a: + a)(x+xa4- A*). ..(op + ha + -^-^ ^A*)

par le symbole [^f a, a*], dont il est facile maintenant de sentir l'esprit ^ et d'après lequel on peut former ceux qui conviennent aux suites dont les différences constantes sont d'un ordre quelconque. De ces considérations naît un genre de fonctions liées entr'elles et avec les puissances de jt , par une analogie très-simple et très-naturelle , et jouissant de propriétés très-remarquables que nous ferons connoitre dans la suite. Nous nous bornerons pour le moment à

£iire quelques observations sur la fonction [^i a] , que nous nommerons puissance de x du second ordre.

V. On peut la présenter de manière à rendre la différence A=si , et faire ensuite abstraction de cette différence » ce qui simplifie un peu la

notation ; en dkt , en reprenant la valeur attachée au symbole [^> a] , on a x{x+àx){x+^Lx){X'\''iàx)....{x'\-{n — i)ax)

=Kè)(i;+0(£;+0--(î^+'— ')'

ce qui donne [x,A]=xûx"r — , il rsAjc*"!"— 1 * ^^ convenant de

Kl.

7^ Ch. !• Du Calcul

ne poiat écrire la différence des facteurs toutes les fois qu'elle est égale à Tunité.

i*". Nous avons supposé que la 4uîte

x^ jf + Ajf, x^xùiXy jt+3AAr, etc.

étoît croissante , on indiqueroit le contraire , en afFectant'la caractéristique A du. signe — , mais pour donner aux produits désignés

par r — 1 la forme des coefficiens du binôme dont les facteurs

sont écrits dans un ordre décroissant , nous supposerons que x est le dernier terme de la suite proposée et que "^

LajcJ lx \t^x J \lx . / \ux /

Cela posé , faisons pour a1>réger — =/> , et montrons les rapports

ùkX n

du symbole [/?] , avec l'expression si bien connue />".

3**. Il est d'abord évident que de même qu'on a /^=p'"./^""""*f

on a aussi [/»] = [;?] \j — /»] ; car

et le troisième produit , dont le dernier facteur se réduit à p-^n + 1 , renferme tous ceux du premier qui ne se trouvent pas dans le second. 4% Les conséquences qui résultent de Téquation /"ss/^*"./^""", lorsqu'on y fait ^^=0 et m négative ^ ont leurs analogues pour les puissances du second ordre. Quand /7z=o , on a /?'*=/;7'" » d'oîi />•*= i,

n m n-tn n on

et l'équation [/'] = [/'] [/> — m'\ , devenant [;^]=[/'] [/^]i donne

aussi [/^] = 1.

5"*. En faisant n=Oy dans la même équation, on en tire

[/?]=[;>] [/^— ;»] , ce qui conduit à [z^— /w J = ^ — = — , comme

DES Différences. 77

Téquation />":s=:/p'",/^"'^, dans la même hypothèse, mène à

^*""s=s^2=2— ■: si Ton écrit p+m. au lieu de p ^ on aura P P

Ces deux dernières remarques établissent la loi de continuité entre

[?]=/'(/'— OC/»— *)(/' — 3)««--(/'--« + o

En écrivant dans la dernière , les fatteurs du dénominateur suivant Tord^ dir^Qt ^e leut grandeur ;» on a^ra

[pi — 1 l

et si Ton fidt /^ = o , on tombera sur .cette expression :

qui toute singulière qu'elle est , n'en doi^ pas moins être adoptée à cause de sa simplicité. Elle n'est point absurde , puisque le facteur o n'entre pas dans son développement. -

Eclaircissons cette notation par quelques exemples , le produit