Occupons-nous maintenant de transformer les puissances
du premier ordre; p% en fonctions de celles du second , [/'j y [p] , etc. Pouf cela soit
« " nr^i 11—2 «— j a î
et supposons que n devienne n+ n k cause de p'*'=p^,p , on aura
j^'==Jpip]-\-Bplp} + Cp[pY+Dp[p'^, . . ■{■Mpip]+Nplp] i
DES Différences. 79
mais de [/»] = [;»](;, — «) bu tire /»[/>] = C^] + «[/>]
a:— I il— 1 «—2 n— I «—a
[/']=[/'](;'-«+3) /'W^D'l+C^-sM
substituant ces valeurs , il viendra
«+1 n «—1 II— 1
+ JV
Le second membre de cette équation donne la manière de tirer successivement le coefficient d'une puissance quelconque de ceux de la puissance immédiatement inférieure ; si Ton fait /z=o , il en
résultera p=:A\^p'] et comme [/^]=/^, on en conclura A=zi. Ce premier ' coefficient étant connu ^ tous les autres se forment avec la plus grande facilité ; et c'est amsi qu'on a construit la table ci-dessous.
P'=lp]+ [P] P'=[p]+ 3b]+ Ip] P'=lp]+ 6lp]+ 7W+ [>J
/=W+ io|>]+ ^5W+ m1>] +[/j
. On arriveroit à l'expression générale de /r"^ avec le secours deTintégration ; car , par Texprèssion de p"'^'^ on a '
AB = nJ,, aC=(/2— 1)5, aZ? = (»— 2)C, etc.
or J étant i , on trouve -ff=s/2=2[ /i J = ^^-^ = — -^ ^
80 C H. I. Du Calcul
ce qui donne A (7= -^^ '- — , et en observant que d'après les
formules précédentes, {n — i)*=[/ï — il+[« — .i]> on changera a C cû ^^-^=! — =^-^ , d ou on tirera , en intégrant ,
vW . W\ , , f<^-0(^— ^)(^— 3) , /^(/7— i)(/i-i) ) ,
Les constantes se déterminent ici' comme après Tintégration des différentielles , par une Valeur donnée ; et puisque les coefficiens B , C, doivent s'évanouir lorsque /z=o ^ il s'ensuit qne les constantes mises à la suite de leurs expressions doivent être supprimées*
Il est aisé maintenant de poursuivre , c'est pourquoi nous passerons aux puissances négatives , et nous ferons
» /'-"=^[/'J + B[/'] + C[/»].... + iM[/»] + A7[/»] + etc. En multipliant les deux membres de cette équation par/», nous aurons
;,-+'=^/»[JÎ + -»/»[/']+ Q'[/']7. . . + Mp\/\Zl^py\ + etc.
etc. etc.
d'où nous conclurons
;,-"+■ ==^[/»]+ 5 [/»]+ , <^M...+ A^IC/'J+etc,
—nA
'{nJtm)M
etc.
résultat qui ne diffère de son analogue dans le n*. précédent , que par le signe de n ; et comme tous deux coïncident lorsque 7?=*o , on est en droit d'affirmer que le second doit se déduire du premier , en y changeant simplement le signe de ». On prendra donc
et
D ES Différences^ 8i
et Ton voit que la série ne s'arrête plus comme pour le cas de Texposant positif.
On peut former successivement les valeurs de p"', /^""S /^""% etc. en partant de la valeur de p"" qui est i , et en faisant en conséquence /2= I, dans l'expression de p'"^' rapportée plus haut, laquelle,
à cause de p**=[/^] 9 donne ^=ï, Jff-^ = o, C— iiî=o,...Ar— (i+/n)Af=o,
d'où on tire
—1—1—1 — 4 . ' -4JI— t
/^-'=0]+i|>]+i.iH+i.i.3[>]-««* + 1-2..3 ('w+OL/^J+etc,
Supposant ensuite nz=zi , la puissance /r""+' se changera en p"'; en la comparant au développement ci-dessus , il viendra -^=1, JB — x-r^=i, C— }B=i.i, etc. et par conséquent
/i-=[p]+3[/^] + ii[/']+ etc.
En continuant ainsi , on trouvera
;,-'=[7] + 6[7]+35M+' etc. p.^ 904. Avant de terminer l'exposition des propriétés générales des puissances du second ordre , il nous reste à montrer comment on ex-
prime la fonction lp+q'\f.pàt le moyen de [/?], [/>], etc.
Puisqu'on a [/'] = [/'](/' — «+ i)> il s'ensuit que
[/>](/?+ 1)=[/^]+»[/']; mais en développant l'expression [z'+ijf
(^J Les formules de Stirling ne sont pas tout à fait les mêmes que celles-ci ,
parce que n'ayant pas apperçu la loi de continuité qui Ue [^] à [/y] , U prit pour
analogues, dans le système des puissances du second ordre ,- les eipresslons/^ et — ^
P qui ae le sont que dans celui des puissances du premier ^ et il trouva en conséquence
+ etc.
f * pip+^ ) KF+0(f +a) p{p+^){p+^){p+})
résultats qut s'obtiennent en divisant par p 1^ deux membres des valeurs de p*^ p^'^y etc. rapportées ô-dessus.
^ppcndicc^ L
8i C H. L D tr C A L c u L
il est aisé de voir .que [p+ i]=(/'+0[/^]- o^ *^'* ^^^
Maintenant si Ton met p+i ^ pour /^, il viendra
et substituant dans cette équation pour [/^+ i] et [/^+i ji leurs valeurs déduites de la ' précédente ^ soit immédiatement , soit en y changeant /» en «— i , on trouve
En écrivant encore p+i ^ au lieu de /^^ et en opérant comme ci« dessus ) on obtiendra
L'induction tirée de ces résultats , dans lesqueb les coefficiens numé«« tiques sont ceux du binôme y nous conduit à cette formule générale :
qui peut se Vérifier par un moyen analogue à celui que nous avons employé dans le n"*. S6o. Soit pour cela
[? + f] = [/']+-<[«] [/'] + ^C«][/'] + C[«][/''3+ etc. et changeons ^ en ^ + 1 » nous aurons
mettant au lieu des puissances de z^+i^ leur expression déduite
de réquation lp+ 1] = [/']+«[/'] , noui obtiendrons
£/'+?+ ']=[/'] +^1[«]I>]+5|[«]|>] + C WW+etc.
résultat qui montre évidemment que les coefficiens^^ B , C, ctc* suivent dans leurs accroissemens les mêmes loix que ceux de la puissance f du binôme , et doivent par conséquent demeurer identiques avec ces derniers ^ puisqu'ils l'ont été à leur origine*
ÏX E s D I F F é R E t^ C E 5. 85
905. Retournons maiittenant à l'intégration des difFérences ; passons aux fractions rationnelles ^ et supposons-les décomposées en fractions simples 9 comme pour l'intégration des différentielles ( n*. 364 ). On pourra toujours intégrer parmi.ces dernières chaque couple de la forme
Jf + d + A X + tf
car il est évident que
et en prenant l'intégrale de chaque membre, on arrive' à
2 { ; V = 1- consi.
n est à remarquer que ni Tune ni l'autre des fractions du premier^ membre ne peut s'intégrer.
5JC-J- xA Soit pour exemple ■ -. La décomposition de cette
X(X + àjy^x + xn)
fraction en fractions simples conduit à
tx + lh I 1 . I I 2 I
x{x + h){x+ih) h X h x^h h x + xh * par la formule générale obtenue plus haut , on a
