I II
et par conséquent 2 - = 2 —rr i
en substituant cette valeur . on trouvera
lAT+lA 2 f I I 1 I I
x{x^K){x^xK) h\ :r+A x+xh ) h x^
mais 2 ! — ^—i 7-7 1 = — TT • îl viendra donc
lor+iA 2 I , 3^+A ,
Ar(A:+A)(jc+2A) A(;t + A) hx ^ hx{x+h) ^
On auroit pu mettre immédiatement la formule proposée sous
84 Cn. h Du Calcul
une forme évidemment intégrable » en l'écrivant ainsi :
Xx+%h II I I i ï ^ ^ ï i î = — s— — —S h -S r — - S , • , ' s
x(x'\'h){X'{'Xh) h X h x+h h x+h «A xfxh
et on auroit conclu sur le champ
'ix+ih î I 11,
A:(jkr+A)(:c-i:lA) h x h x-^n
Cet exemple suffit pour faire connoître Tesprit de la méthode, et Ton voit pat ce qui précède combien il doit être rare de tomber sur des fractions rationnelles , qui soient la diflKrence exacte de quelque fonction primitive. En revenant sur ce sujet par les mé-
thodes d'approximation , nous ferons voir que la fraction ---^ i
n est pas même intégrable par logarithmes , comme lorsqu'il s'agit des
difFérentielles.
906. Les cas où l'on peut intégrer les difFérences irrationnelles sont si rares et si particuliers, que nous ne nous y arrêterons pas ; on en reconnoîtra d'ailleurs les. caractères , en diflFérentianf des fonctions irrationnelles , et nous passerons en conséquence tout de suite aux fonctions transcendantes , parmi lesquelles il s'en trouve plusieurs qui se prêtent assez facilement aux intégrations. De cù nombre est la fonction af'*
En effet , puisque A . a'=a'{o!''^ i ) , il s'ensuit sa^s-^j + consu
On intègre aussi Texpression a'y , lorsque y est une fonction rationnelle et entière de x ; car si l'on fait j'rôA+jgjc+j.x^+cTAr^+etc. que l'on suppose ensuite
et qu'on prenne -la différence de chaque membre , on trouvera
aH +fl.4.v**+/.'+etc A^['»'-^V+5(*+A)+C(.+A)-+Z>(.+ A)'+ etc.) * C*+^*+V* +«^-* ^^""-i-X^aXA^Bx^ C*«+ etc. )
développant le second membre et divisant tout par a*, il viendra *+^;c+^;r«+j^;r» + etc.=(a*— i)(^+ Bx->r C«*+i?*'+etc.)
+a*A (-B+iC*+3Z>**+ etc.) +a*A*(C+3Z>Jif+ etc.) +<i*A»(/?+etc.) + «te.
DES Différences. 85
Comparant les termes semblables dans chacun des membres ^ on
aura
a^^A^a\A^ Sh+ Ch' + Dk^+ tic.
jB = — 5+fl*(5 + iCA + 3/>A»+etc.)
>— — C+a*( C + 3Z?A + etc. )
J^=:— i?+fl*(Z?+ etc.)
etc«
Si pour donner un exemple on veut terminer à yx^ la fonction >^ ^ on fera /so, ce qui donnera 27 = 0^ et on trouvera
tt^jg^*A--C^*A> tf *^(flt— gA + >A^)^/z*(2ct + iSA--7>A") + it d'oîi on tirera x « *( * + /3 ^t + 7. ;t* ) = conse, +'
907. Venons maintenant à rintégratioii des fonctions circulaires. Elle s^efFectue par les formules trouvées plus haut, lorsqu'on fait usage des expressions exponentielles de ces fonctions ; on a , par le n^. 37 de l'Introduction , et par le précédent ,
Le dernier de ces résultats étant transformé en fonction de sinus et de cosinus , devient successivement
sin (^— A) — sîn x
2 sin x^ £=: — ^ ' — ; [- const.
i( I — cosA)
2rsin*'=x ^; = — - — (n^-^ — xr"*^"-*)
sin ^-^sin ( x — h) cos ( Jt— 7 A ) .
~"* r ' I LN> +const.i=^ , /, +
4(sm7A)* 2smxA
const.
«<5 C H. L Di/ Calcul
au moyen des relations
I— cos^=i( sin ^A)% sîn^— sin5=isîn ^ (^— 5)cos ^ (^ + 5 ). On étendroit sans peine ce procédé à beaucoup d'autres fonctions du même genre , mais il paroîtra sans doute plus commode d'opérer immédiatement sur les sinus et les cosinus , ainsi que nous allons le faire.
908. 1% L'équation cos-^ — cos5= — zsin^ (J — B)sm^{J+B) , donne
A cos * = CO8 ( Ji? + A ) — cos:c = — 1 sih X A sin ( jc + f A) ,
d'oh on tire
. , , , ,> ACOSJlf . acos(a: — |A) sm(:r + i.A)== . , , , et sm^= 7—7-7 — ,
en écrivant x — ^ A , au lieu de x ; prenant ensuite l'intégrale de
chaque metpbre de la dernière équation, on obtient , comme ci-dessus ^
cos(x — fA)
X sm AT = ^-: 7 — - + const.
2 sm j A
:i\ L'équation sin-^ — siniB=2sîn7(-rf — -S)cos7(-^+-ff) , donne
Asin:c = sin(x + A) — sinx= isinjAcos (^+ jA) ,
d'oii il suit
, ,,. Asinjt Asin(j(; — ^A) cos(x + fA) = ^, cosx=-^ . ,/ \
sîn (jfcT — fA)
£C0SJt=:; i-^: — -~ + COUSU
2 sin j A
3*. La conversion des puissances de sinus» de connus et de leurs produits , en fonction, de sinus et de cosinus d'arcs multiples , ramènera aux deux formules que nous venons de trouver , Tinté* gration de la fonction générale $inx"'cosjK:% lorsque le^exposans m et n seront des nombres entiers positifs.
. En eflèt , cette fonction sera changée en une suite de termes de la f orme w^ sin ^ X y ou ^cos^atj dont les intégrales se déduiront de celles de ^sin;r et ^côsa; , en écrivant 9:^ et ^ A, au lieu de x et de A ; et il est facile de voir que l'on aura en général
ssîn(/F + ^y)s=-^ ^^^^^'^,^^'^^^ ^ ^const.
2 sm 7 ^ A
2cos(/> + jx)s — ^-^ — 1 — T%' -f comt.
DES Différences. 87
. Lorsque le développement de la fonction sinjc'^cosx" contiendra des termes constans^ soq intégrale renfermera Tare de cercle x,
puisque ^A^^xx'is=A-,
909. On peut encore pousser plus loin l'intégration des fonctions circulaires et obtenir la fonction primitive dont la différence est «'sinx', ou x'cosj^, x' étant une fonction aux ayant poiur dif' férence première la constante U. Les développemens des fonctions A { (*— A)'cos(*'— i A') > et A { (*— A/sinC*'— ^A' ) } , donnent les équations
A { (*-.A)''cos(Ar'— ^ A') } :=«'cos(Ar' + \ A')— (*— A )'cos ( x'— i A' )
= *'{cos(*'+ ^A')— cos(a'— iA') } +
{^^o-'A- tfcii;,.-.A*+^fcll^^^*'-V-^tc.]cos(^'-^A') ,
A { ( X— A)'sin ( x'-^ \ h') } =*'sin ( a:' + i A') — ( ar — A )''sin ( a:'— ^ A')
=«'• (sinCA/ + iA')— sin(x'— i A') } +
/^^.-.A^^(g=iJ^.-.A«+^^^--'K^-').-^-3A^-^etc.]sin(x-.-.iA0.
Substituant d^ns Tune la valeur de cos (^'+7 K) — cos ( x' — 7 A' ) , et dans l'autre celle de sin(x'+i^A') — sin(x'— ^A'), il viendra
A { (^>-hy cos{x'^ ^ A') } = — X ^^siuAr'sin ^ A' +
A { (*:— A)''sin(A;'-- ^h'))^x ar'cosx'sin i A'+ {^.^■A- ^l£ZLi)..-.A« +^Ç^Z:iK^=^^-3A3--tc. jsin ( :.'- i A' ) ;
Il 1.2 ï.1.3 J ^ * '
tirant de ces dernières la valeur de ;t''sin*' ^ celle de x'^cos.v' , et prenant l'intégrale de chaque terme du résultat ^^ on aura
• p- / (^— AVcosr^'—iAO •
. . . isin^A' ^
:-^-r>( :^A2Ar'-'c0S(*'— iA')— ^^^-^^ A*s at'-^cos ( *'— f A' )
isin
M£ — ^)(^ ^) A»j ^P-s<;os ( a;'— i A' ) — etc. ] H- conw. 1.1.3 . y - -
«s Cn, L DvCazcul
(Ar--A)'sm(*'— iA')
2 JC^COS *':
zsin
xsin
JL--f ^ A s*.-'sm ( *'-^ 1 A' ) -^^.^^=1^ A*2*'-'sîd (:c'- i A')
Si l'on fait d?abord /^ — i , ces formules donneront
