Arsin;r'=— ^^ - \ rr + . scos(4g^~ ^^0 + co/g

(x — h)sïn(x' — ^h^ h . . , «j-a , ,^^,-

?.sin^A ism-A

^t comme ^ par le n^« précédent , on a

il çn résulter»

(.-A)cos(.-^^A-) Asin(.--AO, -

in^A' ^ (isin^A')" ^ "^ "''

. , (:c.^A)sinK^iAO hcosjx^^h')

Avec ces expressions on obtiendra celles de Jix*sinx\ jix^cosx'^ çn faisant /^=i, puis celles de ?;i;VinJt;', iSx^çosx', en faisant ;^r=3 , et ainsi de suite; on sera donc en état d'assigner l'intégrale des fonctions y$m»,ycosx^ dans fous les cas où^ sera une fonction rattonnçUe et entiçre de x,

Il est bon de remarquer que si l'on prend x=ax'+t^ ce qui donnera h:==:ah\ on conclura immédiatement

^{ax'+bYsmx\ ^(ax'+iycosx\

de Sjc^sin^', si'cosx', en changeant hors des sinus et des cosinus seulement, x en ax'+b et h enak\ On n'a pu, jusqu'à présent, faire pour les tangentes et les sécantes , ni pour les fractions ayant pour dénominateurs des puissances de sinus et de cosinus , ce que nou$ venons de faire siir les foncions rationnelles çt entières

de ces derniers^

iy E s Différences. 89

910. L'intégration par parties se pratique sur les difFérences aussi bien que sur les difFérentielles. Soient P et X2 , deux fonctions quelconques de jr ^ et faisons SPQ = QSP+î,î étant une fonction inconnue de la même variable. En prenant la dîfierence de chaque membre de cette équation , on aura

développant et réduisant , en observant que QSAPr=PQ , il viendra

o = aQ2(P+ AP) + i5rî, ou Aî = — aQ2;(P + aP), et par conséquent î=— 2(aQ2:(P+aP))=— SaQsP, ^ 2PQ=QsP— 2(aQ2P,);

Soit encore 2(aQsPJ==:aQs*P, +;[(*); si Ton prend les diflFérences et que Ton opère comme ci-dessus, on trouvera successivement

aQïP. = (aQ + a«Q)2(xP. + P.) — AQrP;+Aî

0 = A*Q2(2P.+ PJ + Aî, ou Aî = ~A*QS(2:P. + PJ,

Il est facile de reçonnoître que

et Ton aura par conséquent

Pour aller au-delà de ce résultat , on fera S(a^Qï*P,)==A'Qs''P,+î, et on obtiendra