C-A«<22(S»P.+ 5!P,) + AÎ, ou Aî = — A'QS(2*P.+ SP
et comme
S*P.+ SP,=ï:S*P. + A.2*P.=S*(P. + AP.) = S*P, ,
on parviendra à
SP Q = QïP— A Qs*P.+ A*Q z»P.— s ( a'Qs'P, V En général, soit 2(a''Qs''P„) , le terme auquel on arrive après n
opérations semblables aux précédentes ; si l'on suppose que
s(a«Qs»P„)-a"ôs»+'P^+î,
et qu'on répète sur cette équation ce qui a été fait sur ses
analogues , on en tirera l'équation
.4-.-Fi
(*) Icî , de même que pour les différences, on écrit 2,*^, S^-X", etc. au lieu de 2(2X), 2(S(5;-Y)),etc,
90 C H. ' I. D V Calcul
qui renferme la loi de cette expression élégante, donnée pour la première fois par Taylor, dans les Transactions philosophiques :
sPQ= QsF— aQS*P, + A*Q2^P^— A^QS^P, + a^QS^P^— etc. Si l'on y met pour P, , P^ , P, , etc. leurs valeurs en P , et qu'on effectue les intégrations qui deviennent possibles, elle se change en
sPQrsQsP— A Q(S*P+ SP)+A'Q(S^P+12*P + 2P)
— A^Q(s*P + 3:s^P + 3 2*P+ SP)+ etc.
C'est s8us cette forme que Condorcet l'a présentée dans son Essai sur t application dt t Analyse à la probabilité des décisions'^ p. 163;
Elle s'arrête toutes les fois que la fonction Q mène à des difFé-^ rences constantes dans un ordre quelconque ; et si la fonction P €st susceptible d'un nombre suffisant d'intégrations successives ^ on parvient à Imtégrale exacte de la fonction PQ.
911. U suit de là que l'on peut intégrer, i% toute fonction de la
^ j4a*+ B x^'\^ Cxy+ .....
forme ■• ■ ■ ■ ■ ■■ . v ^
quand les exposans du numérateur seront entiers et positifs*
1**. Toute fonction de la forme
tf"*(^x*+ Sx^+ Cxy ) ,
quel que soit le signe de m.
3"^. Enfin Joute fonction de la forme
sia*:"'cosJir"<-^x*+ Bx^+ C x"^ ) ,
pourvu que m ^X n soient positifs, et en changeant le produit sin ^^"'cos Jt" en sinus et cosinus d'arcs multiples. ^
Ces remarques sont fondées sur ce que les fonctions [^j, a^*^ ûtat et cos X , sont susceptibles d'un nombre quelconque d'intégrations successives ( n*', 901 , 906 , 908 ) ; elles méritent d'autant plus d'attention qu'elles comprennent à peu près tous les cas où l'on peut intégrer les différences qui ne dépendent que d'une seule variable , et qu'elles conduisent par conséquent à la sommation . d'un grand nombre de suites ( n"*, 897 ).
911. On exprime aussi l'intégrale d'une fonction ^u^lconque u^ par , le moyen de ses différences. U suffit pour cela d'observer que si Ton fait Xu = U ^ et que l'on désigne par U^ la valeur que
If E s DiFFÈRENCeS. 9X
prend U\ lorsqu'on y change x en x — nh , on passera de î/ à I/^, par la formule du n". 873 , qui devient dans ce cas
^t donne par conséquent
U'^U^^^'-u^ ^ ^ àu+ ^ ^ ^^ ^ ^A'tf— etc,
après quon y a substitué pour aU^ A^U^ a^U, etc. leurs valeurs déduites de Téquation 27==: 2 2^.
Mais il est visible que £/— i7^ n'est autre chose que l'intégrale de la fonction u , prise depuis x ^ jusqu'à x^^nh ^ puisque d*après. les ' ,
conventions établies
^^ii= «-,^-t+«-,i-.+ CtC*
on aura donc
en se rappelai^ <me par cette valeur , Thitégrale est renfermée entre les limites * et * — nh.
Quoique pour rendre le passage indiqué ci* dessus plus facile à saisir , nous ayons supposé que le nombre n fût entier ^ il peut néanmoins ici , comme dans la formtde dq n"*. 873 , être quelconque; d'oà il suit que si on veut pousser l'intégrale jusq^u'à t'ori^^ne des :r, on aura encore
TÈu^—u^**^ Ai^H — ^ — Vit— — 2î — — ^-^^^— — ^A*«+etc
x' désignant le rapport de :r à A.
Lorsque la différence h de Tabscisse devient évanouissante et qu'on prend les limites en conséquence» la valeur de S 21 devient celle dé fudx ^ (]ue nous avons donnée dans le n\ 485 » comme l'expression générale de u^ se change dans la$érie de Taylor ( n"*, 86i )•
9* Ch. I. DuCalcvi
En effet, on trouve successivement
I Kl h 'I.l#3 A*
Xufizrz w^ 1 ^ — ; — + etC*
d'oïl on conclura
Ju x^ J^u
fudxz=. X U-^ r—- + r-r — etC.
i.i dx* 1.2.3 ax*
si Ton fait attention qu'à cause de j: = x'h , le rapport x' augmente à mesure que A diminue , et devient infiniment grand lorsque cet ac* croissement s'évanouit.
On parvient encore à une expression de 2 2/ ', qui diffère de celle que nous venons d'obtenir, en ce que- les quantités u^^u^ a^u , sont relatives à l'autre limite de l'intégrale. Supposons qu'on demande la valeur de l'intégrale s//, prise depuis X2=:a jusqu'à X =: a+ nh: on désignera alors par -^ , Aji , A*-^ , ce que deviennent les quantités u^ au, aV, etc. lorsqu'on y change x en tf ; on aura, par la formule du n\ 873
xu^^j4 = nA + -^ iA^+^^ ii i A*J+ etc.
et en prenant depuis :r=o jusqu'à a: = t'A, il viendra
x«-x^'=.'^'+ fï±::L>^^'+fïfziilMri) ^.^/+ etc.
formule dans laquelle ^' représente la valeur de u dans l'hypothèse oîr jt = o.
913. L'utilité dont est l'expression de s 2^ , pour la sommation des séries, a porté les Analystes à s'en occuper beaucoup, et ils sont parvenus à lui donner plusieurs formes très-élégantes; Euler la fit dépendre des coefHciens différentiels et de l'intégrale/i^ d x. On arrive à ce résultat en partant de la formule . .
DÈS Différences, 93
qui donne , = -s^+.^+-— -S^ + etc.
Si on fait --^ = k , il viendra i -^-fu dx tX dx
du d^u
fudxi=^h'S,u + aA*s— + iSA^x— ^ — etc.
en représentant t^bx a^ ^^ y, etc. le$ coefEciens numériques; on tirera de là
1 ^ , , du , </*«
2 » = -judx-^ « A s — - — jS A*x -— r — etc.
hr dx dx''
Si maintenant on prend lés coefficiens différentiels de chaque membre ,
dm^U du
en observant que — ; — = S -— , ce qu il est fort aisé de vérifier ,
* dx dx
on obtiendra cette suite d'équations
du t , d*u .,. iPu •
s— -= -- 1/ — * As— -;— ^ A*s-—
d*U l du , d^U . ^^«
jE =— '^— -— ■ ce A S — fi As ^
dx* h dx dx^ dx^
JPu I d*u ^ \ dt^x^ ., ^«
2—— =: — • et A S •— â As — — .
^/at^ hdx* dx^ ^ dx''
etc.
on se servira de ces dernières pour éliminer successivement de la valeur de si;^ les fonctions
du d^u ^u
dx* dx"* dx"*
et il est aisé de voir que le résultat sera nécessairement de la forme
I du d^u
t^uti^-'fud^ '\^JU'\' Bh— -^t Ch^^rz^ etc.
A ^ dx dx*
La détermination des coefficiens A^ B , C, etc. s'opère ici comme dans le n"". 864 , par la considération de la fonction particulière <% pour laquelle on trouve
. e*— I ' ^ V ^AT» *
tfoîi il suit =î= ^^j4 + Bh+Ch^+ etc.
94 Ch. l. DvCalcui
ce qui montre que les coefficiens ji , B ,C, etc. ne sont autre chos6 que ceux qui multiplient les puissances dé h dans le développement
de la fonction ^ 1 réduite en série ascendante par rapport
à cette lettre,
914. On obtiendra de la même manière, et sans plus de di/S-* culte 9 l'intégrale répétée ^"^u ; car la formule
Conduit à
faisant ensuite ^=1=», on aura [:s=:f'^udx'^^ et par conséquent
dx
I du d^tt
X^U =?= Tçrf^Ud x"^^ ôL h jT— -^ fi **^"t^ + etC, A dx d X*
prenant les coefEciens différentiels de chaque membre de cette der« niçre équation , on formera les suivantes :
du ï d^u d^u
-i:-^ = -/-«rf.-««Ax-^-M?»^ + etc.
etc.
^/tf d^u
à l'aide desquelles on chassera x"*^ , x"*-t — , etç» de l expression
dx d X*
de :;5 2f. L'équation finale pourra être représentée par
du d^u
dx^ dx
et deviendra / i i A B M
+ jy + PA + QA*+etç, les coefficiens J^ B, yM, N^ etç, sont donc encore ici
DÈS DiFféitÊNcBSé 95
Ct\xx qui multiplient les puissances de h dans le développement de ■■ ■ ' ■ pj ; et déjà nous ne pouvons nous empêcher de remarquer, entre les intégrales elles puissances négatives, une analogie qui n'est que la continuation de celle que les différences ont avec les puissances positives: en sorte que Ton peut regarder les intégrales contme des différences d'un ordr« dont Texposant est négatif. Il est visible en eiSet que d'après ce qu'on vient de voir , on peut écrire
S^tt^Sî
ùT
pourvu qu après le développement on change les puissances posi* tives ~^ en -— , et les puissances négatives -j^ en Pu d x^ ; et puisque Ton a (-n% 864 )^
il ^si évident que l'expression de 'l'^u est comprise dans Celle de ^"^u , dont elle se déduit en affectant l'exposant m du signe *^.
9 1 5 . Toute fonction qui pourra se réduire à une suite de termes contenant des puissances entières , soit positives , soit négatives ^ de A If et dé X /^ , sera nécessairement égale à une pareille fonction
de €^* — 1 , pourvu qu'en développant les .deux membres on transporte aux caractéristiques a et 1/ les exposans des puissances de A If et dedUf et qu'on change en intégrales celles qui répondront à des exposans négatifs* On doit conclure de ceci : i"". que l'équation
du .
{I0g(l+Alf)}«=:^{l0g(j+.^— 0}-*
aura également liÈu de quelque signe que soit affecté l'exposant m , et comme elle se réduit à
{log(i + A«)}«=A«^,
on aura ^sim est négatif,
9^ Cn. LDt/ Calcul
et déjà dans le cas de m positif nous avons eu ,
{log(i + A«)}«=A-— ( n». 867).
' a% L'équation évidente
i' «tf A' £« ,
(jui . donne
et d*oîi nous avons tiré
—A' A""tt=: { e^^ —!}'"( n^ 873 ),
po\ir l'expression de la différence de la fonction u , prise en supposant que X varie de h\ subsiste encore dans le cas oîi m est négatif 9 et conduit alors à
z' représentant ici l'intégrale de la fonction u ^ quand la différence de X est A'/De[cette équation et de la précédante | on déduit celles-ci ;
qui ne sont à proprentent parler que deux cas de la même équation ; l'un se rapporte à l'exposant +m et l'autre à l'exposant — ^ rm
Léibnitz remarqua le premier s\ir les différentielles des produits de plusieurs variables l'analogie qu'elles ont avec les puissances; il montra bientôt après que les intégrale^ en avoient i)ne semblable avec les puissances négatives. Cette connoissance demeura stérile jusqu'au mémoire que Lagrange publia sur ce sujet en 1772; il généralisa les idées de Léibnitz , les étendit aux différences ^ çt ep déduisit les formules qu'on vient de rapporter ; mais ces formules n'étoient encore que les résultats d'pt>e iaductiçn , è la vérité très*
iine,
DES Différences. 97
fine , et TAuteur les regardoit comme très-difficiles à prouver direc*^ tement^ lorsque Laplace en donna, dans le septième volume des Savans étrangers , des démonstrations qui réunissent Télégance à la simplicité ; il ajouta quelque chose à ce travail en 1777 : c'est ce dernier Mémoire que j'ai suivi dans ce qui précède. On verra dans le Chapitre II ^ ces mêmes formulées faire partie d'une Théorie complète des suites , due entièrement à Laplace ; mais dès à présent il paroîtra sans doute que Tanalogle des puissances avec les diffé* rences est précieuse pour trouver , retemr et généraliser des expressions qui coûteroient beaucoup de peine par d'autres méthodes.
